La matriz de rigidez

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1. LA MATRIZ DE RIGIDEZ, NUESTRA PRIMERA AMIGA





ANTECEDENTES:

se trata de presentar primero desde un punto de vista meramente algebraico a la matriz de rigidez para posteriormente analizar su sentido físico en la resolución de los sistemas de ecuaciones ligados al cálculo de las estructuras.



No son pocas las veces que el mundo de las Matemáticas irrumpe en el de laMecánica, de hecho si investigáramos a través de la historia ocurriría algo parecido a lo que ocurre en la paradoja de la gallina y el huevo... ¿quién vino primero?.

Bueno el caso es que vamos a tratar de ver que las matrices, que provienen del mundo matemático (1) tienen mucho que ver con la mecánica y especialmente con las estructuras, que es uno de mis temas mecánicos favoritos.

Es de todossabido que hoy en día cualquier programa informático de cálculo de estructuras que se precie (no voy a mencionar nombres puesto que de ninguno he recibido dinero, todavía...) posee tres módulos de trabajo más o menos diferenciados: preproceso, cálculo y postproceso. Como es fácil de adivinar el preproceso se centra en la entrada de los datos y el postproceso en la salida de los resultados. Elmódulo de cálculo, que es el que ahora nos interesa, se centra a su vez en la resolución de un sistema de ecuaciones. Generalmente este sistema sirve para calcular los desplazamientos de los puntos de la estructura, y a partir de estos los esfuerzos.Es en este punto donde entran aparecen las matrices asociadas a dicho sistema lineal, que como veremos reciben el nombre de matrices de rigidez.

Estosprogramas abarcan principalmente todo el cálculo de estructuras de barras y de elementos finitos donde se opera con matrices que guardan características de los elementos: rigideces, masas, etc. Desde luego existen programas que no se basan en estas técnicas como por ejemplo los que trabajan con el método iterativo de Cross, aunque de estos conozco bien pocos y están un poco mal vistos y endesuso -aunque son igual de válidos respetando unas premisas de partida dadas (despreciar las deformaciones debidas a los axiles por ejemplo)-. Puesto que la resolución de las estructuras por computadoras supone un esfuerzo inmensamente menor y dado que los cálculos los realiza el ordenador y este 'no se equivoca' -pongo esto entre comillas puesto que veremos que sí que se equivoca-, los métodosmatriciales están popularizándose hasta tal punto que han relegado o absorbido al resto.

Una vez demostrado que lo de las matrices y las estructuras va en serio nos preguntaremos qué papel juegan las matrices en todo esto. Pues bien, las matrices que a nosotros nos interesan expresan la relación entre las fuerzas y los desplazamientos, veamos esta famosa ecuación para aclararnos:P = k . d [1]

pues sí, si consideramos que P es el vector de cargas y d el vector de los desplazamientos producidos en esos puntos (se trata de evitar hablar de de nudos/nodos para no liarnos más de la cuenta), nos daremos cuenta de que la matriz k denominada matriz de rigidez se encarga de almacenar ordenados unos coeficientes tales que al premultiplicar por losdesplazamientos en un punto (d) se obtienen las fuerzas en dicho punto (F). Tanto los desplazamientos como las fuerzas son aquí vectores de orden igual al número de grados de libertad de los nudos. Así por ejemplo en estructuras planas del tipo pórticos son tres los grados de libertad por nudo -(dx,dy,Øz) desplazamientos en los dos ejes y giro en el eje Z- para los desplazamientos-, y por tanto tambiéntres las componentes del vector para las fuerzas -(Fx,Fy,Mz) fuerzas en los dos ejes y momentos según el eje Z-.

Esa simple ecuación es la que trae de cabeza a todos los programas de cálculo y su resolución es la que nos ha traído a todos alguna vez a la desesperación frente a la pantalla de nuestro modesto PC puesto que en cuanto la estructura es contundente, el tiempo de resolución se hace...
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