Ensayo de bhurge

Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor
Una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) sedefine como la siguiente suma:

DEFINICION MATEMÁTICA
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales ocomplejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f esdefinida como la propia f y  y  son ambos definidos como uno.
Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en "a" de la forma  siempre se puede hacer el cambio de variable  (con loque en la función a desarrollar original) para expresarla como  centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función  alrededor de a=1 podemoshacer  y ahora solo tendríamos que desarrollar  centrado en 0
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puedeconseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

La función exponencial (enazul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno acero (en rojo).

EJEMPLO 1. Utilice una serie de potencias para resolver la ecuación y^n + y = 0
SOLUCION: Supongamos que hay una solución de la forma
Y = C0 + C1X + C2X2 + C3X3 +… = n=0∞CnX^nPodemos derivar una SERIE de potencias término a término
Y’= C1 +2Cx^2 +3Cx^3+…=n=2∞NCnXn-1
COMPLETANDO LA SERIE OBTENDREMOS
Cn+2 = - Cn(n+1)(n+2) con n = 0,1,2,3…

EJEMPLO 2. Resuelva...