Ensayo de matemáticas iii

ENSAYO

MATEMATICAS III

ECUACIONES Y PROPIEDADES DE LA RECTA

INTRODUCCION

Este ensayo es con el fin de promover el aprendizaje significativo del tema de ecuaciones y propiedades de la recta, determinar el comportamiento gráfico de las ecuaciones de la recta, a partir del análisis de sus propiedades y modelos matemáticos, para la resolución de problemas teóricos- prácticos.DESARROLLO
Las matemáticas ocupa un lugar muy importante en nuestra cultura, la matemática ha llegado a ocupar un lugar central en la civilización actual.
Es la ciencia capaz de ayudarnos en la comprensión del universo en muchos aspectos, es en realidad el paradigma de muchas ciencias y un fuerte auxiliar en la mayor parte de ellas, gracias a sus modos de proceder mediante el razonamiento simbólico,sobrio, con el que trata de modelar diversas formas de ser del mundo físico e intelectual.
Esta es una propuesta de actividades para promover el aprendizaje significativo del tema de Ecuaciones y propiedades de la recta que esta ubicada en Matemáticas III.

Pendiente de una Recta
En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es elcoeficiente de posición.
La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y(x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea
[pic]
Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.
En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:
[pic]
[pic]
Demostrémoslo: Transformemos la ecuacióngeneral de la recta en una ecuación principal.
Ax + By + C = 0
Ax + By = -C
By = -Ax - C
y = [pic]
y =[pic]
donde se demuestran los valores de m y n antes dado.
Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0?
m =2/3
n = ½

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntosconocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también pertenciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea
[pic]    y    [pic]
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
[pic]
que también se puede expresar como
[pic]
Ejemplo:
Determina la ecuación dela recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4)
[pic]
[pic]
[pic]
y - 2 = x - 1
x - y + 1 = 0

Ecuación de la recta dado punto-pendiente
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por
[pic]
pero
 [pic]
luego
[pic]
Despejando, obtenemos que:
y - y1 = m(x - x1)
Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3)
y- y1 = m(x - x1)
y - (-3) = -4(x - 5)
y + 4 = -4x + 20
Luego la ecuación pedida es   4x + y - 16 = 0.
Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares
Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2
Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas.Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2  y  n1 = n2

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1[pic]L2 sí y sólo si m1· m2 = -1
Ejemplo:
L1: y =...