Ensayo No

universidad autonoma de ciudad juarez
Ensayo 1
Aplicación de la transformada de Fourier







Introducción
Este escrito tratará de explicar la percepción que se pudo obtener del análisis de la transformada de Fourier y sus aplicaciones. Para esto se estudiaron las series de Fourier y las transformadas de Fourier de funciones reales.
También, en este escrito, se encontrarán algunas aplicacionesimportantes que se pudieron identificar en el estudio de Fourier. Dichas aplicaciones son de gran relevancia para el campo de la matemática y de la física.

Análisis de Fourier
Una de las herramientas matemáticas más útiles en ciencia es la transformada y la serie de Fourier. Sus aplicaciones son numerosas; tales son el análisis y teoría de señales, astronomía (en la cual existen muchos camposdonde es oportuno aplicarla), en la geografía, climatología, solución de ecuaciones diferenciales, entre muchas otras.
A pesar de que su formulación y análisis parezca en primera instancia un tanto difícil, puede resultar muy interesante en el ámbito matemático. La idea básica de las series de Fourier consta en que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométricade senos y cosenos del mismo periodo T. Uno de los primeros trabajos con lo que contribuyó Fourier comenzó en 1807, con sus estudios del flujo de calor:

Donde Fourier hizo un intento de demostrar que cualquier función diferenciable puede ser expandida en una serie trigonométrica. Una prueba de esto fue Dirichlet en 1829. Donde Riemann también hizo contribuciones importantes al problema.Modernamente el análisis de Fourier ha sido estudiado e impulsado por matemáticos de la talla de Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil y Weyl entre otros.
La transformada de Fourier es una operación que se realiza sobre otras funciones. Es decir, vamos a tomar dos variables, una que es dependiente de la otra (una función) y la vamos a convertir en otra variable que depende de unanueva (otra función). Lo que Fourier demostró en realidad es que cualquier función que cumpla una serie de condiciones razonables (las condiciones de Dirichlet) es equivalente a su transformada.
La serie de Fourier tiene infinitos términos, de los cuales en la práctica sólo podemos calcular unos pocos. Lo que sucede, a grandes rasgos, es que según se añaden nuevos términos se gana en precisión, esdecir, la transformada de Fourier se acerca más a la función origen. Según aumentamos el número de sumandos, se ve cómo nos ajustamos mejor a la función.
Las series de Fourier son útiles para el estudio de señales periódicas pero, desafortunadamente, éste tipo de señales no son tan frecuentes en la práctica como las no-periódicas.
Sea x(t) una señal aperiódica definida en todo el intervalo real ydenotemos por xT (t) (T > 0) la señal 2T-periodica que se obtiene a partir de ´ x(t) haciendo xT (t) = x(t) para t ∈ (−T, T] y extendiendo periódicamente con periodo ´ 2T. Si suponemos que x(t) es suficientemente suave, entonces tendremos la identidad:

Como podemos apreciar, si hacemos T → ∞ en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la igualdad límite será válida para todo t ∈ R ysu valor será igual al de la señal de partida x(t). Ahora, observemos que le sucede al segundo miembro si hacemos ´ T → ∞. Tomando ∆f =1/(2T) y fk = k∆f, podemos reescribir como:

Finalmente podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la señal aperiódica x(t)) se satisface la siguiente identidad, comúnmente llamada: Teorema integral de Fourier:

O bien, podemosaplicar un cambio de variable, para reescribir la fórmula anterior:

Bajo ciertas hipótesis, conocer la transformada de Fourier de una señal equivale a conocer dicha señal, ya que al aplicar la transformada inversa recuperamos toda la información. De igual forma, si conocemos los coeficientes de Fourier (anteriormente estudiados en clase) {ck}∞k=−∞ de cierta señal periódica x(t), de la que...