Ensayo sobre la vida

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Función lineal
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Para la función entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, véase aplicación lineal.

En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.

En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una funciónlineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.

Esta función se puede escribir como

f(x) = m x + b \,

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos lainclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.

En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa unaaplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma f(x) = mx mientras que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = mx + b cuando b es distinto de cero..
Contenido
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* 1 Ejemplo
* 2 Geometría analítica de la recta en el plano
o 2.1 Rectas que pasan por un punto
o 2.2 Recta que pasa por dos puntoso 2.3 Rectas perpendiculares
* 3 Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines
* 4 Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
* 5 Véase también
* 6 Referencias bibliográficas

[editar] Ejemplo
FuncionLineal01.svg

Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente

y = m x + b \,

que se conoce comoecuación de la recta en el plano xy.

En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y= 0,5 {x} + 1 \,

en esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 1, luego la recta corta el eje y en el punto y= 1

La ecuación:

y= 0,5 {x} - 1\,

tiene el valor de la pendiente m= 1/2, igual que en el caso anterior, por eso estas dos rectas son paralelas, como el valor de b= -1, esta recta corta el eje de las y en el punto y= -1.

La tercera ecuación, es:

y= 2{x} + 1 \,

la pendiente de la recta, el parámetro m= 2, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y la hace en dos unidades, el corte con eleje y, lo tiene en y= 1, dado que el valor de b= 1.

En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

m = \tan \theta \,

[editar] Geometría analítica de la recta en el plano

La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría, en un plano xy,podemos representar una recta y= mx + b, y determinar las valores de m y de b que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometría, veamos algunos casos del empleo del cálculo analítico, aplicado a la geometría:
[editar] Rectas que pasan por un punto
FuncionLineal05.svg

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0).

La ecuación de la recta ha deser, como ya se sabe:

y = m x + b \,

Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:

y_0 = m x_0 + b \,

Despejando b, tenemos esta ecuación:

b= y_0 - m x_0 \,

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

y = m x + (y_0 - m x_0) \,

Ordenando términos:

y = m (x- x_0) + y_0 \,

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano...
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