Ensayo

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Entonces n={v=(x1, x2, . . . , xn)|xi,i[1,n]N}, con la adición y multiplicación por escalares definidas por:
(x1, x2,…, xn )+(y1,y2,…,yn ) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn )
( x1,x2,…, xn ) = ( x1 , x2 ,…, xn )
3) El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo [a,b] ,que denotamos por . Es decir, ={f|f es continua en [a,b]}. Las operaciones son:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(f)(x)=f(x)
f,g,x[a,b], .
Este es uno de los espacios de funciones más importante en Análisis Matemático.
4) mxn, el espacio de las matrices reales de orden mxn, con m,n  N.
mxn = { A : A es una matriz real de orden mxn}. Las operaciones son:
A+B=C,aij+bij=cij ,
B=A,bij=aij,
A,B,Cmxn,(i,j)1,m]x[1,n], .
5) El espacio de las sucesiones reales
l2= {v = (x1, x2, .. , xn, ...): < }, con las operaciones:
i) (x1, x2,...,xn,...)+(y1, y2,...,yn,...) = (x1 + y1 , x2 +y2,...,x + yn,...)
ii)  (x1 , x2 , ..., xn, ...) = (  x1 ,  x2 , ... ,  xn,...)
(x1,x2,...,xn,..),(y1,y2,...,ym,..)l2, 
La verificación que todas las propiedades para la adición y multiplicación por escalares se cumplen es bastante simple en todos los casos, exceptoquizás en el ejemplo 5. Veremos este caso como ejercicio. En realidad, la única dificultad consiste en demostrar que la suma de dos sucesiones en l2 es también una sucesión en l2. En efecto, si(x1,x2, .., xn, ...) e (y1 , y2 , ... ,yn) están en l2 , entonces
|xn|2 < , |yn|2 <
Para la sucesión suma :
|xn + yn|2
=|xn|2 + 2 |xn| |yn| +|yn|2
Pero: (|xn|-|yn|)2>0, luego:
| xn|2-2|xn||yn|+|yn|2 >0
|xn|2+|yn|2 >2|xn||yn|
así: |xn + yn|2 |xn|2 + ( |xn|2 + |yn|2 ) + |yn|2
= 2 |xn|2 + 2 |yn|2 <
6) El espacio de las sucesiones reales convergentes c={v=(x1,x2,...): },con las operaciones:
i) (x1, x2,.....)+(y1, y2,.....) = (x1 + y1 , x2 +y2,.....)
ii)  (x1 , x2 , ..., xn, ...) = (  x1 ,  x2 , .....)
(x1,x2,.....), (y1,y2,.....)c, 
7) El...
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