ensayo

9.4 Las hipótesis básicas del modelo
Todo lo comentado en la sección 7.5 acerca de las hipótesis básicas de normalidad, homocedasticidad e independencia del modelo lineal es válido aquí. En este apartado se repasan las características más importantes.
9.4.1 Hipótesis de normalidad.
La hipótesis de normalidad afirma que los errores del modelo siguen una distribución normal. Esta hipótesis secontrasta a partir de los residuos estandarizados i= 1n. Se pueden aplicar los contrastes y gráficos de normalidad descritos en la sección 4.3.

Gráficos para observar la normalidad son: el histograma, estimador núcleo de la densidad de Rosenblatt-Parzen, gráfico p - p y gráfico q - q.

Contrastes de normalidad son: contraste de asimetría y kurtosis, contraste chi-cuadrado, contraste deKolmogorov-Smirnov-Liliefors.
En relación con la utilización de los residuos para contrastar la normalidad, debe de tenerse en cuenta que de la relación = se sigue que

(9.15)

Por tanto, si ies pequeño, el término dominante en la relación anterior es el sumatorio que por el Teorema Central del Límite es aproximadamente normal. Entonces puede ocurrir que los eisean aproximadamente normales aunquelos ino lo sean. En cualquier caso, si n es grande en relación con k + 1 se pueden utilizar los residuos estandarizados ripara contrastar la hipótesis de normalidad.
La falta de normalidad influye en el modelo en:
— Los estimadores mínimo-cuadráticos no son eficientes (de mínima varianza).
— Los intervalos de confianza de los parámetros del modelo y los contrastes de significación sonsolamente aproximados y no exactos.
Causas que dan origen a la falta de normalidad son las siguientes:
* Existen observaciones heterogéneas. En este caso se debe averiguar la causa que origina estas observaciones: errores en la recogida de datos; el modelo especificado no es correcto porque se han omitido variables regresoras (por ejemplo, no se ha tenido en cuenta una variable de clasificacióncuando las observaciones proceden de diferentes poblaciones).
Se debe hacer un estudio de influencia de las observaciones atípicas para averiguar el grado de influencia en la estimación del modelo. Si esta influencia es muy grande puede ser conveniente recurrir a procedimientos de estimación robusta en el cálculo del modelo.
* Existe asimetría en la distribución. En este caso suele ser convenientetransformar la variable respuesta (transformación de Box-Cox). Este problema suele estar relacionado con otros problemas como falta de linealidad o heterocedasticidad, la solución de transformar las observaciones pueden resolverlos conjuntamente.
* Si la hipótesis de normalidad no se verifica y las soluciones anteriores no son válidas se pueden obtener intervalos de confianza de los parámetrospor métodos diferentes de los expuestos en los que se tiene en cuenta la distribución específica de los errores.
9.4.2 Hipótesis de homocedasticidad.
Una hipótesis del modelo de regresión es la homocedasticidad y todo lo comentado sobre este problema en el modelo de regresión lineal simple sigue siendo válido en el modelo de regresión lineal múltiple.
La falta de homocedasticidad influye en elmodelo de regresión lineal, los estimadores mínimo-cuadráticos siguen siendo centrados pero no son eficientes y las fórmulas de las varianzas de los estimadores de los parámetros no son correctas. Por tanto no pueden aplicarse los contrastes designificación.
La heterocedasticidad se detecta en los gráficos de residuos:

De forma general, en el gráfico de residuos frente a las predicciones .En el gráfico de residuos frente a una variable explicativa si se sospecha que laheterocedasticidad es debida a la variable explicativa xj.

Si los gráficos anteriores son dudosos se pueden hacer grupos de los residuos ordenadosde menor a mayor segun las predicciones y en cada grupo calcular la media de laspredicciones y la desviación típica de los residuos . Si hay homocedasticidad, lanube...