Ensayo

La ¨t¨ estudent.

La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y uní modales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media μ=0. Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayorque en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.

Propiedades de las distribuciones t
1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en Z = 0.
2. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z.
3. A medida que n aumenta, la dispersión de la curva tcorrespondiente disminuye.
4. A medida que v→∞, la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con grados de libertad gl →∞ .
Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes que son todas normales con media μ y desviación estándar σ . Entonces la variable aleatoria es:
t=X-μσN
Tiene una distribuciónt con V= n -1 grados de libertad.
La distribución de probabilidad de t se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W. S. Gosset. En esa época, Gosset era empleado de una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibición, publicó su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En consecuencia, la distribución tnormalmente se llama distribución t de Student, o simplemente distribución t. Para derivar la ecuación de esta distribución, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una población normal. Aunque esto parecería una suposición muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseen distribuciones en forma casi de campana aún proporcionan valores de t que se aproximan muy decerca a la distribución t.
La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. Únicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas.
Se acostumbra representar con t∝ el valor t por arriba del cual se encuentra un área igual a . Como la distribución t es simétrica alrededor de unamedia de cero, tenemos t1-∝=-t∝; es decir, el valor t que deja un área de 1-∝ a la derecha y por tanto un área de a la izquierda, es igual al valor t negativo que deja un área de en la cola derecha de la distribución. Esto es, t0.95 = -t0.05, t0.99=-t0.01, etc.
Para encontrar los valores de t se utilizará la tabla de valores críticos de la distribución t del libro Probabilidad y Estadística paraIngenieros de los autores Walpole, Myers y Myers.
EJEMPLO 1. El valor t con v = 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda, y por tanto un área de 0.975 a la derecha, es
SOLUCIÓN: t0.975=-t0.025 = -2.145
Se hace la grafica de la curva normal.

Si se observa la tabla, el área sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de 1-∝.La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer renglón de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten ∝y v se obtendrá el valor de t.

EJEMPLO 2. El valor t con v = 19 grados de libertad que deja un área de 0.20 a la derecha, y por tanto un área de 0.80 a la izquierda, es
SOLUCIÓN: -t0.80 = t0.20 = 0.8610
Se hace lagrafica de la curva normal

EJEMPLO 2. El valor t con v = 19 grados de libertad que deja un área de 0.15 a la derecha, y por tanto un área de 0.85 a la izquierda, es
SOLUCIÓN: -t0.85=t0.15 = 1.0662
Se hace la grafica de la curva normal

EJEMPLO 3. Encuentre la probabilidad de –t0.025 < t < t0.05.
SOLUCIÓN: Se hace la grafica de la curva normal

Como t0.05 deja un área de 0.05 a la...