Ensayo

Cap´ ıtulo 8 Derivadas parciales y diferencial
8.1. Derivadas parciales de primer orden.
f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) , x − x0 ∂f (x0 , y0 ) ∂x fx (x0 , y0 ) y recibe el nombre de derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x0 , y0 ). De forma similar se define la derivada parcial con respecto a y: ∂f f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ ım , y→y0 ∂y y − y0 que se denota tambi´n por fy(x0 , y0 ). e

Sean f : D ⊂ R2 → R y (x0 , y0 ) ∈ D. Si existe y es finito l´ ım (8.1)

x→x0

su valor se denota por

o

236

xy Ejemplo 8.1.1. Sea f (x, y) = x2 +y2 , si (x, y) = (0, 0), y f (0, 0) = 0. Las derivadas parciales en el origen se obtienen de la siguiente forma:

2

f (x, 0) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ ım = x→0 ∂x x−0 = l´ ım
0 x2

x→0

−0 0 = l´ ım = l´ 0 = 0 ımx→0 x x→0 x

∂f f (0, y) − f (0, 0) (0, 0) = l´ ım = y→0 ∂y y−0 = l´ ım
0 y2

−0 y

y→0

= l´ ım

y→0

0 = l´ 0 = 0. ım y x→0

De (8.1) se sigue que, para x cercano a x0 , el cociente incremental f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) x − x0 estar´ muy pr´ximo a su l´ a o ımite. Por tanto, la derivada parcial ∂f (x0 , y0 ) ∂x representa la velocidad con que var´ f en el punto (x0 , y0 ) y a lolargo de ıa la recta y = y0 , ya que haciendo el producto ∆x ∂f (x0 , y0 ) se obtiene una ∂x aproximaci´n del incremento o f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ), y la aproximaci´n es tanto mejor en cuanto que el incremento ∆x es m´s o a peque˜o. n An´logamente, la derivada parcial ∂f (x0 , y0 ) representa la velocidad con a ∂y que var´ la funci´n en el punto (x0 , y0 ) a lo largo de la recta x = x0 . ıa oDebe notarse que la derivada parcial ∂f (x0 , y0 ) no es otra cosa que la ∂x derivada con respecto a x, en el punto x0 , de la funci´n de x que resulta o cuando hacemos y = y0 en f (x, y). Es decir, es la derivada de f (x, y0 ) con respecto a x. 237

Las funciones m´s simples, como las que son el resultado de realizar las a operaciones habituales entre funciones derivables elementales, poseenlas dos derivadas parciales en cada punto (x, y), En estos casos, ∂f y ∂f se obtienen ∂x ∂y derivando f respecto de x e y, respectivamente, y suponiendo constante la otra variable.

Ejemplos 8.1.2. a) f (x, y) = x sen(xy). ∂f (x, y) = sen(xy) + xy cos(xy) ∂x ∂f (x, y) = x2 cos(xy). ∂y b) f (x, y) =
xy . 1+y 2

∂f y (x, y) = ∂x 1 + y2

∂f 1 + y 2 − y2y x(1 − y 2 ) =x = . ∂y (1 + y 2 )2 (1 + y2 )2

8.2.

Derivadas de orden superior.

Sea f una funci´n que posee derivadas parciales de primer orden en cada o punto de cierto conjunto D ⊂ R2 . Las funciones (x, y) ∈ D → fx (x, y) ∈ R y (x, y) ∈ D → fy (x, y) ∈ R se denotan por fx y fy , respectivamente, y reciben el nombre de funciones derivadas parciales de primer orden de f . Sus derivadas parciales de primer orden se denominanderivadas parciales de segundo orden de f . As´ por ı, ejemplo, el siguiente l´ ımite 238

x→x0

l´ ım

fx (x, y0 ) − fx (x0 , y0 ) x − x0

es la derivada parcial de primer orden con respecto a x de la funci´n fx en o el punto (x0 , y0 ). Se denota por fxx (x0 , y0 ) (derivada parcial de segundo orden de f con respecto a x dos veces). Las derivadas parciales cruzadas, fxy (x0 , y0 ) y fyx(x0 , y0 ), en general son diferentes. Sus definiciones precisas son fyx (x0 , y0 ) = l´ ım fxy (x0 , y0 ) = l´ ım fy (x, y0 ) − fy (x0 , y0 ) x − x0 fx (x0 , y) − fx (x0 , y0 ) . y − y0

x→x0

y→y0

N´tese que fyx (x0 , y0 ) es la derivada parcial de fy con respecto a x en o el punto (x0 , y0 ). Esta notaci´n para las derivadas de orden superior es m´s o a c´moda que la notaci´n cl´sicasiguiente o o a ∂2f ∂ ∂f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ), ∂x∂y ∂x ∂y Vamos a ver un ejemplo de una funci´n f para la que fxy (0, 0) = −1 y o fyx (0, 0) = 1.

Ejemplo 8.2.1. Calcular las derivadas cruzadas en el origen de la funci´n o f (x, y) = xy x2 − y 2 , si (x, y) = (0, 0) x2 + y 2

y f (0, 0) = 0. Derivando respecto de x, considerando y constante, obtenemos fx (x, y) = (3x2 y − y 3 )(x2 + y 2 ) −...