ensayo

PRIMERA Parcial

2009-1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática

178 & 179

1/1

Matemática II (178 - 179)
1RA PARCIAL
04 / 04 / 2009

MODELO DE RESPUESTAS
OBJ 1 PTA 1
Sean f, g: D ⊆ IR→IR tales que: lím ( 2 f(x) – 3 g(x) ) = 1 y lím Ln (g(x)) = 0 Usando el
x →1

2

2

x →1

álgebra de límite, calcular: lím f(x)
x →1

SOLUCIÓNAplicando el Álgebra de Límite y propiedades (Págs. 38 y 40. Módulo I, Matemática II UNA) se
tiene:

lím ( 2 f(x) –
x →1

3 g(x) ) =
2

lím 2 f(x) – lím
x →1

x →1

3 g(x) = 2
2

lím f(x) –
x →1

3
2

lím g(x) =
x →1

Además:

lím Ln (g(x)) = Ln ( lím g(x) ) = 0, luego lím g(x) = 1
x →1

x →1

x →1

Asi:

lím ( 2 f(x) –
x →1

3 g(x) ) = 2
2

lím f(x) –
x →13.1 = 1 =2
2
2

Finalmente:
2 lím f(x) = 2 ,
x →1

es decir,

lím f(x) = 1
x →1

Área de Matemática

lím f(x) =
x →1

1 + 3=2
2
2

1
2

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OBJ 2 PTA 2
Sea g: R→R, la función definida por g (x) = [ x ].
a. Representa gráficamente a la función g en el intervalo [−2 , 2].
b. Calcula el límite de la función g, cuando x tiendea x0 = 1 por la izquierda.
c. Calcula el límite de la función g, cuando x tiende a x0 = 1 por la derecha.
d. ¿Existe el límite de la función g, cuando x tiende a x0 = 1? Explique.
SOLUCIÓN
b. Al observar la gráfica de la función g notamos que
para valores de x a la izquierda de 1, muy cerca de
1 (por ejemplo 0 < x < 1), los valores de g son
constantemente igual a cero. Por lo tanto (verpáginas 70 y 71 del texto (Módulo I)), tenemos:

a. Gráfica de g en el intervalo [−2 , 2].

y
2
−2

−1

1
−1

1

2

lím g(x) = 0
x →1−

x

−2
c. Al observar la gráfica de la función g notamos que d. Como los límites laterales de la función g en x0 = 1
para valores de x a la derecha de 1, muy cerca de
son distintos, entonces de acuerdo al teorema 2.1
1 (por ejemplo 1 < x <2), los valores de g son
(p. 70 del texto (Módulo I)), el límite de la función
constantemente igual a uno. Por lo tanto (ver
g en el punto x0 = 1 NO EXISTE.
páginas 70 y 71 del texto (Módulo I)), tenemos:

lím g(x) = 0
x →1+

OBJ 3 PTA 3
Sea f:[−2 , 4]→IR la función definida por f(x) = (x3 − 2x + 1) 10x. Usar el Teorema del Valor
Intermedio para verificar que los puntos a = 0,2 y b =47789 están en la imagen de f.
SOLUCIÓN

La función f está definida en un intervalo cerrado y es continua por ser el producto de funciones
continuas: un polinomio y la función x→10x. Luego f cumple las condiciones del Teorema del
Valor Intermedio (ver p 109 del texto (Módulo I)).
Como
f(−2) = ((−2)3 − 2(−2) + 1)10(−2) = −3.0,01= −0,03
y
f(4) = (43−2.4+1)104 = 57.104 = 57000,

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entoces por el Teorema del Valor Intermedio la función f alcanza todos los valores del intervalo
I=[−,003 ; 57000]. Puesto que los puntos 0,2 y 47789 están en este intervalo entonces ellos están
en la imagen de f.
OBJ 4 PTA 4

(x 2 + 5) sen x
Calcular la derivada del función definida a través de la expresión f(x) =
.
x 3 tg xSOLUCIÓN
1era forma.

′
⎛ (x 2 + 5)sen x ⎞ ((x 2 + 5)sen x)′x 3 tgx − (x 2 + 5)sen x(x 3 tg x)′
⎟⎟ =
f ′(x) = ⎜⎜
3
2
x
tg
x
x 3 tg x
⎝
⎠

=

(2xsen x + (x

2

)

(

)

+ 5)cosx x 3 tg x − (x 2 + 5)sen x(2x 2 tg x + x 3 sec 2 x)
x 6 tg 2 x

[1]

2da forma

f(x) =

(x 2 + 5)sen x (x 2 + 5)sen x (x 2 + 5)cosx
=
=
,
x 3 tg x
x3
3 sen x
x
cosx

luego

′
⎛ (x2 + 5)cosx ⎞ ((x 2 + 5) cos x )′ − (x 2 + 5) cos x (x 3 )′
⎟⎟ =
f ′(x) = ⎜⎜
3
x
x6
⎠
⎝

=

(2x cos x − (x 2 + 5) sen x ) x 3 − 3x 2 (x 2 + 5) cos x
x6

[2]

Nota: Se puede comprobar que [1] y [2] son iguales pero esto no es necesario hacerlo para el
logro del objetivo.
OBJ 5 PTA 5

Sea f:(2, 7) → IR una función tal que su derivada viene dada por la expresión:
cos x
f...