Ensayo

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Capítulo 2. Aritmética
Una lección que Sócrates nos dio es que, debemos confiar en la razón.
Al mismo tiempo nos alertó sobre el peligro del dogmatismo….
En pocas palabras nos enseñó que el espíritu de la ciencia es la crítica.
Karl R. Popper.

2.0 Introducción. El nombre Aritmética (de la palabra griega Аριθμητικά y ésta de αριθμος
que significa número), estuvo asociado desdetiempos de la escuela pitagórica (siglos VI-III
antes de Cristo (AC)), al estudio de las propiedades de los números naturales, 1, 2, 3,…. La
aritmética jugó un papel crucial en la filosofía, y no sólo en el pitagorismo, sino que alcanzó las
ligas mayores, donde jugaban rol importante, filósofos, tan reconocidos como Platón y
Aristóteles. A la Aritmética que nos referiremos aquí, es entonces, a lateoría de números, y no a
la otra, a la de las técnicas computacionales, o aquella de las cuentas del mercado, conocida por
los pitagóricos como Logística (λογιστις).
El origen de la teoría de números va más allá de la cultura griega. Hasta mediados del siglo XX
se creía que los inicios de la teoría de números y el algebra se remontaban a las culturas
mesopotámicas del segundo milenio (AC), enrazón, sobre todo, a evidencias mostradas por Otto
Neugebauer (1899-1990) y Alfred Sachs (1914-) en su obra Mathematical Cuneiform Texts1. Sin
embargo investigaciones más recientes, descritas en la obra de B. L. van der Waerden (19031998) 2 tienden a mostrar que la teoría de números tuvo un origen anterior, probablemente en el
período neolítico entre 3000 y 2500 AC en Europa Central y de allí,este conocimiento
matemático se expandió a Gran Bretaña, el Cercano Este, Mesopotamia, India y China. Dicho
sea de paso, van der Waerden fue el primer discípulo que tuvo Neugebauer en historia de las
matemáticas, cuando en la Universidad de Gotinga, se inauguró esta cátedra en 1927.
Los números naturales están presentes en la filosofía pitagórica, desempeñando un papel
fundamental en laexplicación de la esencia de todas las cosas, como se explicará más adelante.
Durante el apogeo de la cultura griega, la teoría de números estaría presente en los
monumentales trabajos de Euclides, de Arquímedes y de Diofanto de Alejandría. El teorema
fundamental de la aritmética, que aparece en las matemáticas griegas, es a no dudarlo un hito en
el desarrollo de la teoría de números. Este teoremada una caracterización de los números
naturales, como producto de números primos en forma única, salvo el orden de los factores. La
aparición de los números primos jugando un papel importante en la obra de Euclides contrasta
con el desarrollo matemático egipcio, inclinado más, a representar los números, como suma de
fracciones de numerador uno y las matemáticas babilonias usando fraccionessexagesimales con
el mismo propósito.
A la escuela pitagórica se le atribuye el descubrimiento ciertos números con características
especiales simulando, en ciertos casos, atributos propios del ser humano. Algunos ejemplos son
los siguientes:
Números Perfectos son aquellos para los cuales la suma de sus divisores propios3 reproduce el
mismo número. Por ejemplo: 6 = 1 + 2 + 3, donde 1, 2 y 3 sonlos divisares propios de 6.

1

Neugebauer, O. et al, Mathematical Cuneiform Texts. New Haven, Conn. 1945.
Van der Waerden. B. L. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Springer-Verlag. Berlin. 1983.
3
Se denomina divisor propio de un número a aquel que lo divide, pero menor que él, por ejemplo 1 es divisor propio
de 6, pero 6 no es divisor propio de 6.
2

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Números Amigosson parejas de números naturales con la propiedad de que la suma de los
divisores propios de cada uno, reproduce al otro. Un ejemplo es el par (220, 284), porque los
divisores propios de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, cuya suma es 284, y así
mismo, los divisores propios de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142, que al sumarlos da 220.
Para los pitagóricos el número uno, la monada,...