Ensayo








INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN

KARLA CHAVEZ VIZCAÍNO
INGENIERIA INDUSTRIAL
ALGEBRA LINEAL

 ING. FERNANDO LOERA RIVERA


UNIDAD 1
NÚMEROS COMPLEJOS
INTRODUCCION
En esta primera unidad se abordaron los temas referentes a la definición de número complejos, sus características y las propiedades con las que cuenta. Se toca el tema de las operaciones básicas, fundamentales ycomplejas que se pueden realizar con ellos; asimismo se ve el tema de radicación y potencia de un número complejo y el exponencial elevado a una potencia compleja con su respectiva sustitución.
1.1 Definición y origen de los números complejos.
-Historia de los números complejos

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, comoHerón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo deecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada porGauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
-Definición de número complejo
Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados
z = (x, y)
de números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.
Varias propiedades de la suma y delproducto de números complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más básicas y verificamos algunas de ellas.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
Las leyes conmitativas.
z1 + z2= z2 + z1, z1z2 = z2z1
y las asociativas
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3)
se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de númeroscomplejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo, si
z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2),
entonces
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1
La verificación de las restantes, así como de la ley distributiva
z(z1 + z2) = zz1 + zz2,
es similar.
De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego estápermitido escribir
z = x + iy o z = x + yi
Además, por las leyes asociativas, una suma z1 + z2 + z3 o un producto z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales.
La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la idenidad multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea,
z + 0 = z y z * 1 = z
para todo númerocomplejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos
(x, y) + (u, v) = (x, y),
donde (x, y) es cualquier número complejo. Se deduce que
x + u = x e y + v = y;
o sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, por tanto, la única identidad aditiva.
Cada número complejo z= (x, y) tiene asociado un inverso aditivo
-z = (-x, -y)
que satisface la ecuación z + (-z) = 0. Además, hay un sólo inverso aditivo para cada z, pues la ecuación (x, y) + (u, v) = (0,0) implica que u = -x y v = -y.
Los inversos aditivos se usan para definir la resta:
z1 - z2 = z1 + (-z2).
Luego si z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2), entonces
z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 - x2) + i(y1 - y2)....