Ensayo

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LA PARABÓLA |
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Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y esperpendicular a la directriz.Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y sedenota por PDD-F. Esto es: PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}                                 PD  
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fig. 6.1.1.  
 Ecuaciones Analíticas de la Parábola  En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)   | |
fig. 6.1.2.Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .   
Pero,  y  Luego,  Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,  (1) Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.  Por hipótesis,  (2)  Se debe probar que    
    
 De esta forma se ha demostrado la parte i del siguienteteorema.   
 TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)   La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamente si un punto P del plano, satisface (3) entonces P xPDD-F   La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)  Recíprocamente, si unpunto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F 
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fig. 6.1.3.  
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fig. 6.1.4.  
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En la  fig.  6.1.3. Aparecen  las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba  (en el caso de p>0) y hacia abajo (p 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos conrespecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.   
 
Traslación de Ejes 
En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:  
 ó  
Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene.  
De loanterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la gráfica (fig. 6.1.5.).   
  
 
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fig. 6.1.5.
Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los  ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios  que  se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir unnuevo sistema de coordenadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un  punto fijo  o’ (h, k) que  se llama: ORIGEN del nuevo sistema.  
Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P (x’, y’) referidas al sistema x’-y’ vienen dadas por las relaciones:   
  
|   x = x’ + h (1)   
  y = y’ + k (2)    Llamadas: ECUACIONES DE     TRASLACIÓN DE EJES, y que   pueden deducirse fácilmente de la fig.  6.1.6. |
 
fig. 6.1.6.
La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva.  
Una aplicación útil de la traslación de ejes se consigue cuando se obtienen las ecua- ciones generales de la parábola, con vértice en el punto V (h,...
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