ensayos descriptivos

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GUIA TEMATICA DE LOGICA MATEMATICA
TEORIA DE CONJUNTOS
LIC. FERNANDO CORTES DIAZ
Definiciones:
Conjunto: se puede decir que es todo grupo o colección de objetos bien definidos, con características comunes.
Objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, cualquier ente. Estos objetos se llaman elementos o
miembros del conjunto.
Ejemplos: { 1, 3, 7, 10}
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{x/x -3x –2=0}
{ Colombia, Brasil, Argentina}
Es frecuente, en esta teoría, la referencia a dos conjuntos que debemos distinguir como especiales:
a) el conjunto vacío (simbolizado con φ )
b) el conjunto universal (simbolizado con U)
El conjunto vacío es el que no tiene elementos.
El conjunto universal es el que reúne a todos los elementos de que se trata.
RELACION ENTRE CONJUNTOS
Subconjunto: A essubconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.
Notación: A⊂B ⇔ ∀x ∈A⇒ x∈B
Ejemplo:
El conjunto C = {1,2,5} es un subconjunto del conjunto D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece
al conjunto D.
3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto
de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto delConjunto Universal.
Notación: U
Ejemplo:
A = {1,3,5}

B = {2,4,6,8, 10}

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10}
4.- Conjunto Potencia: se denomina conjunto potencia de A, o partes de A P(A), a la familia de todos los
n
subconjuntos del conjunto A. Sí el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2 elementos.
Notación:
Ejemplo:
A = {2,4,5}
3
P(A)= 2 = 8, lo que significa quepueden formarse 8 subconjunto de A.
P(A)= { {2}, {4}, {5}, {2,4}, {2,5}, {4,5}, {2,4,5}, φ }.
5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto.
Notación: φ = { x / x ≠ x }
Ejemplo:

2

B= {x/x = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.

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6.-Diagrama de Venn: Los diagramas de ven Euler permiten visualizar gráficamente las nocionesconjuntistas y se
representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el
rectángulo al conjunto universal.
Ejemplo:
A⊂B
U
B

A

7.-Conjuntos Finitos o Infinitos:
contar.

Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de

Ejemplo:
M= {a,e,i,o,u}, M es finito.
N={1,3,5,7...}, N es infinito.
8.-Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.
Gráficamente:
U
A

B

Ejemplo:
A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B.
Notación: A∪B= {x/x∈A∨ x∈B}
Gráficamente:
U
A

b

U
A

Ejemplo
A={3,4,5,8,9}B={5,7,8,9,10}

B

U
B

A

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A∪B={3,4,5,7,8,9,10}
2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos son
comunes a A y B.
Notación: A ∩ B= {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Gráficamente:
U
A

B

B

U

A

Ejemplo:
A={7,8,9,10,11,12}

B={5,6,9,11,13,14}

A ∩ B={9, 11}
3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todoslos elementos que no están en el conjunto A
y que están en el universo.
c

Notación: A = {x / x ∈U ∧ x ∉A}
c

A =U- A
Gráficamente:
Ac

U
A

Ejemplo:
U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}
c

A = {1,2,5,8,9,10}
4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos
que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.
Notación: A- B ={x / x ∈A ∧ x ∉ B}
Gráficamente:
U
A

Ejemplo:

B

U
A

B

U
A

B

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C = {u, v, x, y, z}

D = {s, t, z, v, p, q}

C - D = {x, y, u}
5.- Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos son
aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero no en A.
Notación: A ∆ B= {x / x ∈ A ∧ x ∉...