ENSAYOS IMPORTANTES

ÁLGEBRA

SUPERIOR

realicemos las operaciones y agrupemos los términos que se pueden sumar:
(6x5y)+(9x3y+2x3y)+(2x3y2)+(15x3)+(3xy2)+(3xy)+(5y)+(5),
de lo que el resultado queda como:
6x5y+11x3y+2x3y2+15x3+3xy2+3xy+5y+5

Ejercicio 1
1. De los siguientes términos, identifica si son semejantes, y en caso de
serlo, súmalos:
a) 6xy3
y –4xy3
b) 7x7y3z y –2x7y3z2
c) –3xy4 y 4xy4
2.Verifica que se cumpla la propiedad conmutativa para la suma usando
los polinomios 2x3+5x+6 y 4x3+x2+7.

3. ¿Cuál será el elemento neutro bajo la multiplicación? Verifícalo usando
el polinomio 2x5+3x4+5x+7.

4. ¿Cuál será el inverso aditivo de un polinomio? Encuentra el inverso
aditivo para el polinomio 3x4+6x2–8x+9.

5. Multiplica los polinomios:
a) 2x3+5x2+3x+6 y 3x2+x+2
b) 3x2+2x+3 y5x2+4x+6
c) 4x3+2x+5 y 6x7+5x+2
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EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

3.3. Productos notables o especiales
Hay productos de polinomios que aparecen constantemente en las
matemáticas, por lo que si no se quieren multiplicar los polinomios todas las veces
que nos encontremos con ellos, sería bueno que se recordara sólo su resultado.
A estos productos se les conoce como productos notables.
Losproductos notables son multiplicaciones de polinomios de uso
frecuente que se pueden verificar mediante la realización de operaciones.
Primero deduciremos algunos productos notables y luego se proporcionará
una lista con otros más.
El primer producto notable que calcularemos es el cuadrado de un
binomio:
(x+y)2 =(x+y)(x+y)
=x(x+y)+y(x+y)
=x2+xy+yx+y2
=x2+2xy+y2
Obsérvese que el cuadrado deun binomio es igual al cuadrado del primer
término más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado
del segundo término.
El siguiente producto que mostraremos es el cubo de un binomio:
(x+y)3 =(x+y)(x+y)2
=x(x+y)2+y(x+y)2
=x(x2+2xy+y2)+y(x2+2xy+y2)
=x3+2x2y+xy2+xy2+2xy2+y3
=x3+3x2y+3xy2+y3
Nótese que el cubo de un binomio es igual al cubo del primer término
másel triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más
el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo
del segundo término.
103

ÁLGEBRA

SUPERIOR

El producto de (x+y)(x–y), conocido como binomio conjugado, es:
( x + y)( x − y) = x( x + y) − y( x − y)
= x 2 + xy − yx − y 2
= x 2 − y2
Otros productos notables importantes son:
•(x+y)(x2–xy+y2)=x3+y3
• (x–y)(x2+xy+y2)=x3–y3
• (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
• (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

Ejercicio 2
1. Haciendo todas las operaciones demuestra que se cumplen los cuatro
productos notables anteriores.

2. Calcula los siguientes polinomios usando productos notables:
a)
b)
c)
d)

(3x–y)3
(3x2–2y)(3x2+2y)
(2x–y)(4x2+2xy+y2)
(y–1)(y2+y+1)

3.4. Factorización
Cuandoestudiamos a los números denotamos con el nombre de factor de un
número b a todos aquellos que al multiplicarlos por otro factor se obtiene como
producto b. De igual manera, para los polinomios se puede definir sus factores
de la siguiente manera:
104

EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

Se denominan factores de un polinomio P(x) a los polinomios Q1(x),
Q2(x)...Qn(x) que multiplicados tienen comoproducto P(x).
P(x)= Q1(x)Q2(x)...Qn(x)
Por ejemplo, los factores de (x2+6x+8) son (x+2) y (x+4), ya que
(x+2)(x+4)=x2+6x+8
Si se suman los grados de los polinomios factores se obtiene el grado del
polinomio producto. En el ejemplo anterior, los polinomios factores (x+2) y
(x+4) son de primer grado y el polinomio producto (x2+6x+8) es de segundo
grado.
Véase que los productos notablestambién se pueden entender como
descomposición de factores. En efecto, si se leen de izquierda a derecha dan
el resultado de un producto, mas si se leen de derecha a izquierda son la
descomposición en factores.
Para la descomposición en factores, las herramientas más útiles son la
propiedad distributiva de los polinomios y los productos notables. Ilustremos el
método de factorizar polinomios...