Ensayos

Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM

Curso 2007-2008.

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´ MATEMATICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales 1 Definici´n de espacio vectorial. Subespao cios

Dados dos conjuntos V y K se llama ley de composici´n externa en V o con respecto de operadores en K a una aplicaci´n o K × V −→ V (k, v) → kv. Si K es un cuerpo (ej. R o C) con operaciones internas (K, +, ·), llamamos unidad de K alelemento neutro de (K − {0}, ·) y lo denotamos 1K . Definici´n 1.1. Un conjunto no vac´ V es un espacio vectorial sobre el o ıo cuerpo K (tambi´n K-espacio vectorial) con las operaciones + : V ×V −→ V e interna y · : K × V −→ V externa si se verifica: 1. (V, +) es un grupo commutativo o abeliano. Llamamos 0 a su elemento neutro. 2. ∀u, v ∈ V , ∀a, b ∈ K (a) a(u + v) = au + av (b) (a + b)u = au + bu (c)(ab)u = a(bu) (d) 1k u = u. Escribiremos (V, K, +, ·). Los elementos de un K-espacio vectorial se llaman vectores y los elementos del cuerpo escalares. Ejemplos 1.2. 1. Un cuerpo K es espacio vectorial sobre si mismo. El conjunto {0} es un espacio vectorial sobre K.

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2. n ∈ N, K n = {(a1 , a2 , . . . , an )|ai ∈ K, i= 1, . . . n} es un espacio vectorial sobre el cuerpo K con las operaciones: (a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ) α(a1 , a2 , . . . , an ) = (αa1 , αa2 , . . . , αan ) con (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ K n y α ∈ K, es decir, tenemos el espacio vectorial (K n , K, +, ·). 3. Dado un sistema de ecuaciones lineales homog´neo con coeficientes e reales  a11 x1 + . . . + a1n xn = 0   a21 x1 + . . . + a2n xn = 0 (∗)  ···   am1 x1 + . . . + amn xn = 0 de m ecuaciones con n inc´gnitas. El conjunto de soluciones del siso tema W = {(a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn |(a1 , a2 , . . . , an ) es soluci´n de (*)} ⊆ Rn o es un espacio vectorial (W, R, +, ·).

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Subespacios

Sea V un K-espacio vectorial. Definici´n 1.3. Un subconjunto no vac´ U de Ves un subespacio vectoo ıo rial de V si ∀α, β ∈ K y ∀u, v ∈ U αu + βv ∈ U. Equivalentemente, U es subespacio vectorial si es un K-espacio vectorial con las operaciones de V . Ejemplos 1.4. 1. Dado un espacio vectorial V , entonces los conjuntos {0} y V son subespacios. 2. V = R3 , U = {(x, y, 0)|x, y ∈ R} es subespacio de R3 . 3. El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones linealeshomog´neo de m ecuaciones y n inc´gnitas con coeficientes reales es subee o n spacio de R .

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4. Dado un vector no nulo u de un K-espacio vectorial V , el conjunto U = {au|a ∈ K} es un subespacio vectorial de V . Definici´n 1.5. Se dice que un vector u ∈ V es combinaci´n lineal de los o o vectores u1 , . . . , un si existenescalares a1 , . . . , an ∈ K tal que
n

u = a 1 u1 + . . . + a n un =
i=1

ai ui .

Proposici´n 1.6. La intersecci´n de dos subespacios es un subespacio. o o Proposici´n 1.7. Sea S un conjunto no vac´ de V . Entonces el conjunto o ıo
n

< S >= {u ∈ V |u =
i=1

ai ui , ai ∈ K, ui ∈ S}

es un subespacio vectorial de V que recibe el nombre de subespacio engendrado por S. Obs´rvese que:e 1. S ⊆< S >. 2. Todo subespacio W tal que S ⊆ W verifica < S >⊆ W . El subespacio < S > coincide con la intersecci´n de todos los subespacios o que contienen a S. Ejemplo 1.8. Sea S = {(1, 0, 0), (0, 1, 1)} ⊆ R3 . Entonces < S >= {(a, b, b)|a, b ∈ R}. Definici´n 1.9. Se dice que un K-espacio vectorial V es finitamente geno erado si existe un conjunto finito de vectores G tal que V =< G >, diremosque el conjunto G es un sistema generador de V .

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Dependencia lineal. Bases. Dimensi´n. o

Definici´n 2.1. Sea {u1 , . . . , un } un conjunto de n vectores de un K-espacio o vectorial V . Se dice que {u1 , . . . , un } es un sistema linealmente independiente (sistema libre o familia libre) si la unica...