epistemología de la integral definida

El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo XVII para resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo, velocidad y aceleración, estimularon lainvención y el desarrollo de los métodos del Cálculo.
Sobresalieron entre sus iniciadores John Wallis, profesor de la Universidad de Oxford e Isaac Barrow, profesor de Newton en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Pero un método general de diferenciación e integración fue descubierto solo hacia 1665 por el Inglés Isaac Newton y posteriormente por Gottfried Wilhelm Von Leibniz, nacido en Leipziy,Alemania, por lo que a ellos se les atribuye la invención del Cálculo. En la actualidad el Cálculo se aplica al estudio de problemas de diversas áreas de la actividad humana y de la naturaleza: la economía, la industria, la física, la química, la biología, para determinar los valores máximos y mínimos de funciones, optimizar la producción y las ganancias o minimizar costos de operación y riesgos.
Acomienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación. Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con el descubrimiento del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestrauna conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton yLeibniz. Ambos creadores introdujeron el Cálculo Integral considerando los problemas inversos de sus cálculos. Newton debido a sus estudios sobre la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes. Para Leibniz el problema era más complejo; la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funcionesprimitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante. Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias.
Histórica desde los tiempos de Arquímedes, los problemasvinculados al cálculo eran la determinación de tangentes y la estimación de áreas, y, por otro lado, el objeto matemático que marca el nacimiento del nuevo cálculo el teorema fundamental del cálculo el cual, mediante el uso del procedimiento inverso al cálculo de tangente de curvas, establece el algoritmo para calcular una integral definida.
Las ideas precursoras de los infinitesimales y el concepto deinfinito, (piedras de toque) para el nuevo cálculo, parecen remontarse a los inicios de las matemática, en la sucesión limitada de los números naturales, en el Quinto Postulado de Euclides sobre las paralelas o el método de exhaucion de los griegos, sólo por señalar algunos ejemplos. Conviene señalar, por significativo, que en el lenguaje matemático de hoy la expresión infinito conserva el sentidoque Aristóteles le asignó.
Los griegos, influidos por la supremacía de la Geometría en sus matemáticas, buscaron procedimientos puramente geométricos para hallar la cuadratura de distintas superficies. Mediante la descomposición de polígonos en triángulos, los griegos cuadraban cualquier superficie poligonal. Arquímedes, fue todavía más allá, y en su libro Cuadratura de la Parábola , prueba...