Errores

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Marzo 2008, versión 1.4

Contenido 1. Fórmulas de cuadratura 2. Fórmulas de Newton-Cotes 3. Fórmulas compuestas

1

Fórmulas de cuadratura
Z

• Objetivo

Aproximar la integral I=

b

f (x) dx

a

usandouna combinación lineal de valores de f (x) en puntos del intervalo [a, b], a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b, Z
b

a

f (x) dx ' α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ).

La fórmula de cuadratura es F (f ) = α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ). • Error E (f ) = I − F (f ) Z b = f (x) dx − [α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn )] .
a

1

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Tema 3:Integración Numérica 2

Ejemplo 1.1 Consideramos la integral Z 1 x sin x dx. I=
0

1. Aproxima el valor de I con la fórmula de cuadratura ∙ µ ¶ ¸ a+b b−a f (a) + 4f + f (b) . F (f ) = 6 2 2. Calcula el valor exacto de la integral y el valor del error. 1. Valor aproximado. Tenemos a = 0, b = 1, f (x) = x sin x, 1−0 F (f ) = (0 + 4 · (0.5) sin (0.5) + sin 1) = 0. 30005. 6 2. Valor exacto y error.Calculamos una primitiva de f (x) Z x sin x dx = integramos por partes Z µ ¶ = −x cos x − (− cos x) dx Z u=x du = dx = −x cos x + cos x dx dv = sin x dx v = − cos x = −x cos x + sin x + c El valor exacto es Z 1 x sin x dx = [−x cos x + sin x]x=1 = − cos 1 + sin 1 = 0. 30117. x=0
0

Error La fórmula de cuadratura ha producido una aproximación con 2 decimales exactos. ¤ • Grado de precisión Dadoun intervalo [a, b], decimos que una fórmula de cuadratura F (f ) = α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ) tiene grado de precisión g si es exacta para todos los polinomios de grado ≤ g (y no lo es para alguno de grado g +1). Es decir, si p(x) es un polinomio de grado ≤ g, entonces la fórmula de cuadratura es exacta para p(x) Z b p(x) dx = α0 p(x0 ) + α1 p(x1 ) + · · · + αn p(xn ).
a

|E(f )| = |I − F (f )| = |0. 30117 − 0. 30005| = 0.00 112.

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Tema 3: Integración Numérica 3

• Determinación del grado de precisión

Puede demostrarse que la fórmula de cuadratura F (f ) tiene grado de precisión g si es exacta para los polinomios p0 (x) = 1, p1 (x) = x, p2 (x) = x2 , . . . , pg (x) = xg y no lo es para pg+1 (x) = xg+1 . Ejemplo 1.2 Consideramos elintervalo [0, 2]. Determina el grado de precisión de la fórmula de cuadratura F (f ) = 1 [f (0) + 4f (1) + f (2)] . 3

Tenemos que verificar la exactitud de F (f ) sobre p0 (x) = 1, p1 (x) = x, p2 (x) = x2 , . . . ⎫ Z 2 ⎪ 2 ⎪ 1 dx = [x]0 = 2 ⎪ ⎬ 0 ⇒ F (f ) exacta para p0 (x) = 1. ⎪ ⎪ 6 ⎪ F (1) = 1 (1 + 4 + 1) = = 2 ⎭ 3 3 ⎫ ∙ 2 ¸2 Z 2 x ⎪ ⎪ ⎬ x dx = =2 2 0 0 ⇒ F (f ) exacta para p1 (x) = x. ⎪ ⎪ ⎭ F (x)= 1 (0 + 4 · 1 + 2) = 6 = 2 3 3 ⎫ ∙ 3 ¸2 Z 2 ⎪ x 8 ⎪ ⎪ x2 dx = = ⎪ ⎬ 3 0 3 0 ⇒ F (f ) exacta para p2 (x) = x2 . ⎪ ¡ ¢ ⎪ 8 ⎪ ⎭ F x2 = 1 (0 + 4 · 1 + 4) = ⎪ 3 3 ⎫ ∙ 4 ¸2 Z 2 ⎪ 16 ⎪ 3 dx = x ⎪ =4 x = ⎪ ⎬ 4 0 4 0 ⇒ F (f ) exacta para p3 (x) = x3 . ⎪ ⎪ ¡ ¢ ⎪ 12 ⎭ F x3 = 1 (0 + 4 · 1 + 8) = =4 ⎪ 3 3 ⎫ ∙ 5 ¸2 Z 2 ⎪ 32 ⎪ 4 dx = x ⎪ x = ⎪ ⎬ 5 0 5 0 ⇒ F (f )no exacta para p4 (x) = x4 . ⎪ ⎪ ¡ ¢ 20 ⎪ ⎪ ⎭ F x4= 1 (0 + 4 · 1 + 16) = 3 3

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Tema 3: Integración Numérica 4

con p(x) polinomio de grado ≤ 3. Por ejemplo, tomemos

La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 3, y es exacta para todas las integrales Z
2

p(x) dx

0

p(x) = x3 − x, ¸2 ∙ 4 Z 2 ¢ ¡ 3 x2 x 16 4 − − = 4 − 2 = 2, = x − x dx = 4 2 0 4 2 0 6 1 F (p) = [0 + 4· (1 − 1) + (8 − 2)] = = 2. ¤ | {z } |{z } 3 3
p(1) p(2)

2

Fórmulas de Newton-Cotes

Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen integrando el polinomio interpolador construido con nodos igualmente espaciados. • Estrategia 1. Dividimos [a, b] en n subintervalos de longitud h= b−a , n

los puntos de división son de la forma x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . xj = a + jh, . . . xn = a + nh = b.

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