Esfuerzo y deformacion

Los esfuerzos en un punto situado sobre un plano inclinado según un ángulo θ se pueden calcular a partir de las ecs. (6.2) y (6.4). Sin embargo, no se sabe si los esfuerzoscalculados mediante estas ecuaciones para cualquier ángulo particular son los esfuerzos máximos o mínimos posibles. Los esfuerzos máximos y mínimos en un punto se llaman esfuerzosprincipales.
Un método para obtener los esfuerzos principales es representar gráficamente los valores del esfuerzo a partir de la ec. (6.2), con los valores correspondientes de θ. Si esto sehace, se obtendrá una gráfica semejante a la de la figura 6.2. Las coordenadas de los esfuerzos principales en A y B podrían entonces obtenerse gráficamente, pero este método es muylaborioso.

Por consiguiente, es más conveniente obtener fórmulas generales para los esfuerzos principales.

Para la ec. (6.2), la primera derivada es dσ’/dθ. En la figura 6.2se ve que la pendiente de la curva en el punto donde se presenta el esfuerzo principal es cero (horizontal). Por lo tanto, se obtiene una ecuación general para los esfuerzosprincipales resolviendo un problema de máximos y mínimos. Esto es, se deriva la ec. (6.2) y se iguala la derivada a cero. Los valores de θ para esa pendiente (cero) serán loscorrespondientes a los esfuerzos principales.
Resolviendo esta expresión se tiene:
La ec. (6.5) da dos valores de 2θ (con diferencia de 180º), correspondientes a los puntos A y B de la fig. 2.Esto significa que las superficies oblicuas sobre las cuales ocurren los esfuerzos máximo y mínimo principales, se localizan con una diferencia en θ de 90º. Si se sustituyen losvalores de 2θ de la ec. (6.5) en la ec. (6.2), se obtiene una fórmula para los esfuerzos normales principales.


(6.4)



Resolviendo la ecuación, tenemos

(6.8)