Espacio Euclidio

EL ESPACIO EUCLÍDEO
INTRODUCCIÓN.
Trataremos en este tema de llevar a los espacios vectoriales nociones geométricas como
ortogonalidad, ángulo, longitud, distancias, áreas...
Veremos que todo ello se puede obtener al introducir un producto escalar.
La geometría euclídea se desarrolla en los siglos XIX y XX, tras la aparición del concepto de
espacio vectorial. Recibe su nombre en honor aEuclides, matemático griego (~300 a.C.)
quien estudió los conceptos básicos de la Geometría plana, aunque por supuesto no en un
contexto vectorial.
Para generalizar esos conceptos geométricos, observamos el comportamiento de los
vectores del plano. En ℜ 2 tenemos definido el producto escalar usual
(a1,a2) · (b1,b2) = a1 b1 + a2 b2
Es una operación entre dos vectores, cuyo resultado es unescalar (de ahí el nombre
“producto escalar”).
El producto escalar permite reconocer a los vectores ortogonales (“ángulo recto”): dos
vectores son ortogonales si su producto escalar es cero (por ejemplo, (1,3) y (-6,2), etc.)
Observemos las propiedades de esta operación:

Propiedades del producto escalar usual.
1.
2.
3.
4.

Conmutativa. u · v = v · u
Distributiva. u · ( v + w) = u · v + u ·w
Reubicación del escalar. α (u · v) = (α u) · v = u · (α v)
Definida positiva: v · v ≥ 0, y se da la igualdad v · v = 0 solamente para el vector v = 0 .

Definición: Producto escalar en cualquier espacio. Espacio euclídeo.
Cualquier operación en un espacio vectorial que cumpla las anteriores propiedades, diremos
que es un producto escalar (aunque no se trate del producto escalar usual).Llamaremos espacio euclídeo a un espacio vectorial dotado de un producto escalar.
El producto escalar se denotará por u · v. También se puede utilizar la notación .

Ejemplos de producto escalar.
1. El producto escalar usual en ℜ n :
(a1,a2,. . . ,an) · (b1,b2,. . . ,bn) = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Espacio Euclídeo 1

Puede verse como el producto deuna matriz fila por una matriz columna:
 b1 
 
b
(a1,a2,. . . ,an)  2  = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn
 
 
 bn 
2. En ℜ 3 podemos “inventar” otra operación que cumpla también las propiedades
anteriores, y por tanto podremos llamarla un producto escalar. Por ejemplo,
(a,b,c) · (a’,b’,c’) = aa’ + 2bb’ + 3 cc’
Compruébese que cumple las propiedades.
3. En el espacio M2 dematrices 2x2 con términos reales, podemos definir el siguiente
producto escalar:
 a b   a ' b' 

 c d  ·  c' d '  = aa ' + bb ' + cc ' + dd '
 


 

Este producto escalar también puede expresarse así, para dos matrices A y B:
A · B = traza (A Bt)

(Nota: la traza de una matriz es la suma de sus elementos diagonales).

4. En el espacio M2, el producto ordinario dematrices no es un producto escalar. (Su
resultado no es un escalar; además no es conmutativo, etc.)
5. En el espacio vectorial C[a,b] de las funciones continuas en el intervalo [a,b], definimos el
producto escalar:
b

f·g=

∫ f(x) g(x) dx
a

Compruébese que cumple todas las propiedades de un producto escalar.
6. En el espacio P2={ ax2 + bx + c : a, b, c∈ ℜ } de los polinomios de grado ≤ 2,podemos
definir el producto escalar
(ax2 + bx + c) · (a’ x2 + b’ x + c’) = a a’ + b b’ + c c’
Otra posibilidad es considerar a los polinomios como funciones continuas en un intervalo, y
utilizar el producto escalar del ejemplo anterior.
Notar que el producto ordinario de polinomios no es un producto escalar (su resultado no es
un escalar, etc.)

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

EspacioEuclídeo 2

Conceptos geométricos obtenidos del producto escalar.
Por analogía con lo que ocurre en el plano o el espacio con el producto escalar usual,
podemos definir los siguientes conceptos, siempre referidos a un cierto producto escalar.
Nos situamos en V, un espacio euclídeo.

1. Vectores ortogonales.
Dos vectores u, v son ortogonales si su producto escalar es cero: u · v = 0. Se...