Espacios Vectoriales Algebra




Espacios Vectoriales



20 de Noviembre del 2013




Espacios Vectoriales
1. Espacio Vectorial
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Podríamos decir que un espaciovectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
Un espaciovectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo).
Ejemplo
1. Se quiere probar que  es un espacio vectorial sobre 
Si  juega el papel de  y  el de :
Los elementos:

son, de forma genérica:

es decir, pares de números reales. Porclaridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente
En  se define la operación suma:

donde:



y la suma de u y v sería:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.
La operación interna suma tiene las propiedades:
1) La propiedadconmutativa, es decir:







2) La propiedad asociativa:




3) tiene elemento neutro :


4) tenga elemento opuesto:



La operación producto por un escalar:

El producto de a y u será:

donde:

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.
5) tenga la propiedad asociativa:

Esto es:




6)  sea elemento neutroen el producto:

Que resulta:




Que tiene la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:





8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:





Queda demostrado que es espacio vectorial.

2. Cuando no es un espacio vectorial
Sea V = {l}.Es decir, V consiste únicamente del número 1. Éste no es un espacio vectorial yaque viola el axioma i)-el axioma de cerradura- o Para verlo con más claridad, basta con observar que 1 + 1 =2 no pertenece a V.
También viola otros axiomas, sin embargo, con tan sólo demostrar que viola al menos uno de los diez axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial.

2. Propiedades básicas de un espacio vectorial
Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumpletodos y cada uno de los siguientes axiomas:
i. Para cualquiera dos vectores u y v en V
u + v ∈ V
Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.
ii. Para cualquiera dos vectores u y v en V
u + v = v + u
Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma: El ordende los sumandos no altera el resultado de la suma.
iii. Para cualquiera tres vectores u, v y w en V
u + (v + w) = (u + v) + w
Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: En una suma de vectores, no importa el orden como asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.
iv. Existe un único vector en V que se simbolizara por 0 y que se llamara el vectorcero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple
u + 0 = 0 + u = u
Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:
Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.
v. Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple
u + (−u) = (−u) + u = 0
Este axioma se...