Espacios Vectoriales: Cambio De Base.

4.4 bases y dimensiones de un espacio vectorial, cambio de base.

Espacios vectoriales: cambio de base.

Las aplicaciones del algebra lineal a la ingeniería pueden formularse de manera sencilla si se elige el sistema de coordenadas apropiado. Los problemas de espacios vectoriales pueden simplificarse si se elige la base adecuada.
Se estudiaran las coordenadas de un vector con respecto a unabase fija, y veremos como puede cambiar al cambiar la base del espacio y veremos las relaciones que vinculan las coordenadas de una vector con respecto a diferentes bases.

Ejemplo:
Se tomara B = { (1, 0, -1), ( -1,1,0), (1,1,1)} como base de A3 y w=(2, -3,4) un vector en A3. Expresaremos w como combinación lineal de B.
¿ porque esto es posible para cualquier w en A3?
Queremos encontrarescalares a, b, g, tales que (2, -3, 4) = a (1, 0, -1) + b ( -1,1, 0) + g ( 1, 1, 1).
Lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones:
a – b + g = 2
b + g = -3
-a + g = 4




Teorema 1

Si ( V, + ,..) es un espacio vectorial de dimensión finita y B ={ v1, v2, …. , vn} es una base de V, entonces para cada wIV, existen escalares únicos a1, a2,…. An tales que w= a1V1 + a2v2 + …. +anvn.

Laexistencia es debida a que una base es generadora del espacio y la unicidad es por el hecho de que la base es un conjunto linealmente independiente. En efecto, supongamos que w se puede escribir de dos maneras como una combinación lineal de v1, v2,…. Vn;
es decir:
w= a1v1 + a2v2+,…..+ anvn = b1v1 +b2v2+…..+bnvn.
Entonces:
(a1 – b1) v1 + ( a2 – b2) v2 +…+ ( an – bn) vn = 0 y como v1, v2, …. Vnson l.i.
Entonces a1 = b1, a2 = b2,…, an = bn.

Estos escalares únicos tienen un nombre propio: coordenadas de w con respecto a la base B. Precisando más, tenemos la siguiente



Definicion 1:
Sea como antes B={v1, v2,...,vn} una base de V y wÎV tal que w=a1v1+a2v2+...+anvn . Las coordenadas de w con respecto a la base B son a1, a2, ...,an y lo escribiremos así:
[w]B=( a1, a2,...,an).Observaciones:

Ø si B={(1,2),(0,1)} entonces
[(2,7)]B= (2,3) porque (2,7)=2(1,2)+3(0,1)

Ø si C={(0,1),(1,2)} entonces
[(2,7)]C= (3,2) porque (2,7)=3(0,1)+ 2(1,2)

Es decir, [w]B no solo cambia cuando la base cambia, también depende del orden de los elementos en B. Por lo tanto, para definir con precisión las coordenadas de un vector w con respecto a una base B, pediremos que la base Bsea una base ordenada.

Ejemplo 1:

Si S es la base canónica de Â3, como (2,-3,4) = 2(1,0,0)-3(0,1,0)+4(0,0,1) entonces [w]S=(2,-3,4) = w. Es decir, los vectores en Ân se denotan por sus coordenadas en la base canónica.

Los resultados obtenidos en el ejemplo anterior, nos permiten concluir que si w=(2,-3,4) y tomamos B={(1,0,-1),(-1,1,0),(1,1,1)} como base de Â3, entonces


Ejercicio Nº1:Encuentre las coordenadas del polinomio
p(x)=1 +2x+3x2 con respecto a la base canónica de P2 , B={1, x, x2}.



Reflexione sobre el ejercicio

En la vida real ya hemos usado el concepto de coordenadas, por ejemplo al situar un punto de la tierra, por medio de su longitud y latitud (2 coordenadas) aunque es un punto en el espacio (tres coordenadas)



Como cambiar de una base B a otraC y encontrar la matriz asociada a ese cambio de base.

Consideremos S, la base canónica en Â2 y B={u,v}={(1,1),(1,2)} otra base.

Sea w=(x,y) un vector en Â2 eso significa que w=x(1,0)+y(0,1). Como B es una base, queremos encontrar las coordenadas de w con respecto a esa base, es decir, encontrar a,b tales que w=au+bv=a(1,1)+b(1,2), lo que implicaría que [w]B=(a,b).

Además queremosexplorar la relación entre (x,y) y (a,b).

Para encontrar (a,b), escribimos la base canónica como combinación lineal de la base B, es decir, (realice las cuentas)

(1,0) = 2(1,1)-1(1,2) y (0,1) = -1(1,1)+1(1,2),
sustituyendo en w = x(1,0)+y(0,1) Þ

w = x(1,0)+y(0,1) = x {2(1,1)-1(1,2)}+y{-1(1,1)+1(1,2)} Þ

w = (2x-y)(1,1)+ (-x+y)(1,2) = (2x-y)u + (-x+y)v Þ

a=2x-y y b=-x+y de dónde, es...