Espacios Vectoriales Prod
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Facultad de Ciencias F´ısicas y Matematicas
´
Departamento de Ingenier´ıa Matematica
Algebra II. 525148.
Espacios Vectoriales con Producto Interior
Octubre 2010.
Profesores:
´
Antonio Contreras Quilodran
Rommel Bustinza Pariona
Manuel Campos Pareja
´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica
1.
ACQ/RBP/MCP.
Espacios Vectoriales con Producto Interior
´ de Producto InteriorDefinicion
Sea (V, +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K dado por R o C. Se dice
´
que una aplicacion
·, · : V × V → K es un producto interior (producto
escalar) sobre V si satisface las siguientes propiedades:
•
α u + β v, w = α u, w + β v, w
∀ α, β ∈ K, ∀ u, v, w ∈ V
•
u, v
•
v, v ≥ 0
•
´ si v = θ.
v, v = 0 si, y solo
= v, u
∀ u, v ∈ V
∀v∈ V
´
Observacion.
Notar que lasegunda propiedad implica que
∀v ∈ V :
y por lo tanto tiene sentido requerir la tercera propiedad.
´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica
2.
v, v ∈ R ,
ACQ/RBP/MCP.
Espacios Vectoriales con Producto Interior
Ejemplos
1) En el e.v. real
V := Rn se define ·, · : V × V → R por
n
∀ x := [x1 , ..., xn ], y := [y1 , ..., yn ] ∈ V
xj yj
x, y :=
j=1
2) En el e.v. real
V := Mm×n (R) se define ·, · : V ×V → R por
A, B := tr (B t A)
∀ A, B ∈ V ,
n
donde
cjj
tr (C) :=
j=1
´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica
∀ C := (cij ) ∈ Mn×n (R)
3.
ACQ/RBP/MCP.
Espacios Vectoriales con Producto Interior
´
Ejemplos ... (continuacion.)
V := C[a, b] := {f / f : [a, b] → R es continua } se
define ·, · : V × V → R por
3) En el e.v. real
b
f, g :=
f (x) g(x) dx
a
∀ f, g ∈ V
4) Sea {x1 , x2 , ..., xn }una base de Rn . Entonces, en el e.v. real
V := Mn (R) se define ·, · : V × V → R por
n
A xj , B xj
A, B :=
Rn
j=1
donde
·, ·
Rn es el producto interior usual de
´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica
4.
∀ A, B ∈ V ,
Rn .
ACQ/RBP/MCP.
Espacios Vectoriales con Producto Interior
5) Caso particular.
´
Si {x1 , x2 , ..., xn } es la base canonica
de Rn , entonces:
n
n
aij bij
A, B :=
i=1j=1
∀ A := (aij ), B := (bij ) ∈ V
´
Observacion.
Un e.v.
V sobre un cuerpo K (R o C), provisto de un producto interior ·, · se
llama un espacio vectorial con producto interior (e.v. con p.i.). Los cinco
ejemplos anteriores son e.v. con p.i.
´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica
5.
ACQ/RBP/MCP.
Espacios Vectoriales con Producto Interior
TEOREMA (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Sea ( V,satisface
·, · ) un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Entonces se
| v, w | ≤
v, v
1/2
w, w
1/2
∀ v, w ∈ V
´ de Norma
Definicion
Sea V un e.v. sobre un cuerpo K dado por R o C. Una norma sobre V es una
´
aplicacion
· : V → R que satisface las siguientes propiedades:
•
v
≥ 0
•
v
= 0
•
v+w
•
αv
∀v ∈ V
v = θ
´ si
si, y solo
≤
v + w
= |α| v
´
Dpto. de Ingenier´ıaMatematica
∀ v, w ∈ V
∀ α ∈ K, ∀ v ∈ V
6.
ACQ/RBP/MCP.
Espacios Vectoriales con Producto Interior
TEOREMA (Norma Inducida)
·, · ) un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Entonces, la
´
· : V → R definida por
aplicacion
Sea ( V,
v
:= v, v
1/2
∀v ∈ V
es una norma sobre V , la cual se llama norma inducida por
·, · .
TEOREMA de PITAGORAS y LEY del PARALELOGRAMO
Sea ( V,
·, · ) un e.v.con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C, y sea · su
norma inducida. Entonces se satisface
•
v +w
•
v+w
2
2
= v
2
+ v−w
´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica
+ w
2
2
= 2
´ si
si, y solo
v
2
7.
Re v, w = 0
+ w
2
∀ v, w ∈ V
ACQ/RBP/MCP.
Espacios Vectoriales con Producto Interior
ORTOGONALIDAD
Sea ( V,
·, · ) un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Entonces:
• v, w ∈V se dicen ortogonales si
v, w
= 0
• {v1 , ..., vn } ⊆ V se dice un conjunto ortogonal si
vi , vj
= 0, ∀ i = j, i, j ∈ {1, ..., n} y
vi = 0 ∀ i ∈ {1, ..., n}.
• {v1 , ..., vn } ⊆ V se dice un conjunto ortonormal si es ortogonal y todos
sus vectores tienen norma inducida igual a 1, es decir
vi , vj = 0, ∀ i = j, i, j ∈ {1, ..., n}
´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica
8.
y
vi
= 1, ∀ i ∈...
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