espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES
DEFICINION GEOMETRICA DE UN VECTOR
El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se denomina una representación de un vector.
DEFINICION ALGEBRAICA DE UN VECTOR
Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b).Los números a y b sedenominan elementos o componentes del vector v.El vector cero es el vector 0,0 .
MAGNITUD O LONGITUD DE UN VECTOR
Se define la magnitud o longitud de un vector como la longitud de cualquiera de sus representaciones y su dirección como la dirección de cualquiera de sus representaciones.
V=(a, b)
DIRECCION DE UN VECTOR
Esta dado por la función
ESPACIO VECTORIALREAL
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por una escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación:
NOTA: Si x y y están en V y si  es un numero real, entonces la suma se escribe como x+y y el producto escalar de  y x como x
1. Si x  V y y  V,entonces x+y  V(Cerradura bajo la suma)
2. Para todo x,y,z en V,(x+y)+z=x+(y+z)
(Ley asociativa de la suma de vectores)
3. Existe un vector 0  V tal que para todo x  V,x+0=0+x=x
(El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
4. Si x  V,existe un vector –x en  V tal que x+(-x)=0
(-x se llama inverso aditivo de x)
5. Si x y y están en V,entonces x+y=y+x
(Ley conmutativa de la suma de vectores)
6. Si x  V y es una escalar ,entonces x  V
(Cerradura bajo la multiplicación por una escalar)
7. Si x y y están en V y  es una escalar, entonces (x+y)= x+y
(Primera ley distributiva)
8. Si x  V y  y β son escalares, entonces (+β)x=x+ βx
(Segunda ley distributiva)
9. Si x  V y  y β son escalares, entonces ( βx)=( β)x
(Ley asociativa de la multiplicación por escalares)
10. Para cada vectorx  V, 1x=x

TEOREMA 1
Sea V un espacio vectorial. Entonces
1. 0=0 para todo escalar 
2. 0*x=0 para todo x  V
3. Si x=0,entonces =0 o x=0 (o ambos)
4. (-1)x=-x para todo x  V

1. Por el axioma 3, 0+0=0;y del axioma 7,

0=(0+0)= 0+0 (1)

Sumando -0 en los dos lados de (1) y usando la ley asociativa (axioma 2),se obtiene
0+(-0)=( 0+0)+(- 0)
0=0+(0+(-0)
0=0+00=0


2. Se usa, esencialmente, la misma prueba que en la parte 1.Se comienza con 0+0=0 y se usa el axioma 4,para ver que
0x=(0+0)x=0x+0x ó 0x+(-0x)=0x+(0x+(-0x))ó 0=0x+0=0x

3. Sea x=0. Si  ≠ 0 ,se multiplican ambos lados de la ecuación por 1/ para obtener (1/)(x)=(1/)0=0 (por la parte 1). Pero (1/)(x)=1x=x
(por el axioma 4), de manera que x=0 .

4. Primero se usa elhecho de que 1+(-1)=0. Después, usando la parte 2 se obtiene
0=0x=(1+(-1))x=1x+(-1)x=x+(-1)x (2)

Se suma –x en ambos lados de (2) para obtener
-x=0+(-x)=x+(-1)x+(-x)=x+(-x)+(-1)x
=0+(-1)x=(-1)x
De este modo,-x=(-1)x. observe que el orden de la suma en la ecuación anterior se pudo invertir utilizando la ley conmutativa (axioma 5)

OBSERVACION: La parte 3 del teorema 1 no es tanobvia como parece. Existen situaciones conocidas en las que xy=0 no implica que x ó y sean cero. Como ejemplo, se tiene la multiplicación de matrices de 2x2.
Si A= y B=
En donde ni A ni B son cero y, como se puede verificar, AB=0, el resultado del producto de estas matrices es la matriz cero.






SUBESPACIOS VECTORIALES
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V ysuponga que H es en si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.Entonces se dice que H es un subespacio de V. se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.
Un Subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura...