Espacios Vectoriales

TEMA 2 – ESPACIOS EUCLÍDEOS 1-.Introducción Distancia Un espacio métrico es un conjunto M (cuyos elementos son puntos) con una función distancia asociada “ : → ”que satisface las siguientes propiedades: • , ≥0 ∀x, y ∈ M • , =0 ∀ ∈ • , = , ∀ , ∈ • , ≤ , + , ∀ , , ∈ • , =0 ↔ = ∀ , ∈ Ejemplo: la distancia trivial d(x,y) = 1 para puntos diferentes Norma Un espacio vectorial normado sobre un cuerpo Kes un conjunto V (cuyos elementos son vectores) con una función norma “‖ ‖: → / ∈ → ‖ ‖” que satisface las siguientes propiedades: ∀ ∈ • ‖ ‖≥0 • ‖ ‖ = ‖ ‖‖ ‖ ∀ ∈ , ∈ • ‖ + ‖ ≤‖ ‖+‖ ‖ ∀ , ∈ • ‖ ‖=0 ↔ =0 Ejemplo sobre el cuerpo de los reales: = ‖ ‖ = |
!|

!"

‖ ‖# = $

!"

!

#

Producto escalar Un espacio vectorial prehilbertiano sobre un cuerpo K es un conjunto V (cuyos elementos sonvectores) con una función p. escalar “〈, 〉: → / , ∈ → 〈 , 〉” que satisface estas propiedades: • 〈 , 〉≥0 ∀ ∈ • 〈 , 〉= 〈 , 〉 ∀ , ∈ , ∈ • 〈 + , 〉≤〈 , 〉+〈 , 〉 ∀ , , ∈ ''''''' • 〈 , 〉=〈 , 〉 ∀ , ∈ • 〈 , 〉=0 ↔ =0 Si es dimensión finita, se denomina euclídeo = 〈 , 〉=
! !

!"

Expresión del producto escalar en una base • Sea ( = )* , *# … *, - una base del espacio vectorial V • . = . * + .# *# + .,*, + ⋯ + . * 0 = 0 * + 0# *# + 0, *, + ⋯ + 0 *

Sean conocidas las coordenadas de dos vectores u y v en la base B

•

Producto escalar por un vector de la base

〈*! , 0〉 = 〈*! , 0 * + 0# *# + 0, *, + ⋯ + 0 * 〉 = = 0 〈*! , * 〉 + 0# 〈*! , *# 〉 + ⋯ + 0 〈*! , * 〉 = = 〈*! , * 〉 〈*! , *# 〉 0 0# ⋯ 〈*! , * 〉 · 2 ⋮ 4 0

〈., 0〉 = 〈. * + .# *# + ., *, + ⋯ + . * , 0 * + 0# *# + 0, *, + ⋯ + 0 * 〉 = =. 〈* , 0 * + 0# *# + 0, *, + ⋯ + 0 * 〉 + +u# 〈e# , 0 * + 0# *# + 0, *, + ⋯ + 0 * 〉 + ⋯ + +u7 〈e7 , 0 * + 0# *# + 0, *, + ⋯ + 0 * 〉 = ⋯ u7 〈* , 0 * + 0# *# + 0, *, + ⋯ + 0 * 〉 〈e , 0 * + 0# *# + 0, *, + ⋯ + 0 * 〉 ·2 # 4= ⋮ 〈e7 , 0 * + 0# *# + 0, *, + ⋯ + 0 * 〉 〈e , e 〉 〈e , e# 〉 〈e# , e 〉 〈e# , e# 〉 ·2 ⋮ ⋮ 〈e7 , e 〉 〈e7 , e# 〉 0 ⋯ 〈e , e7 〉 0# ⋯ 〈e# , e7 〉 4·2 ⋮ 4 ⋮ ⋱ 0 〈e7 , e7 〉 ⋯

•Producto escalar de u y v

= u = u

u#

u#

⋯

u7

Denominamos matriz de Gram (G) a la matriz asociada al producto escalar en la base B • Propiedades o El espacio es euclídeo (base finita) o La matriz es simétrica (coincide con su traspuesta) o La matriz es definida positiva o Toda matriz simétrica positiva puede asociarse a un producto escalar o Toda matriz simétrica definida positivaverifica que el det. es positivo 〈u, v〉 = u: · G · v

2-. Ortogonalidad Dos vectores u y v de un espacio “euclídeo” (E) son ortogonales cuando su producto escalar es nulo ., 0 ∈ < . ⊥ 0 ⟺ 〈., 0〉 = 0 .⊥

Un vector u es ortogonal a un subespacio V cuando lo es a cualquier vector v del subespacio V Un vector u es ortogonal a un subespacio V cuando lo es a una base ( = )0 , 0# … 0C del subespacio Vu∈E∧V⊂E .⊥ ⟺ 〈., 0D 〉 = 0 E = 1,2 … H u∈E∧V⊂E ⟺ 〈., 0〉 = 0

Se define el ángulo θ entre dos vectores u y v al que verifica: cos θ = S = )v , v# … v7 〈u, v〉 ‖.‖ · ‖0‖

Propiedades Un conjunto de vectores ortogonales dos a dos forma un sistema libre

El conjunto de vectores ortogonales a un subespacio V es un subespacio que se denomina suplemento ortogonal de V ∀., 0 ⊥ ∀., 0 ∈
[

∀i ≠ j / vQ ⊥vR ⇒ )v , v# … v7 - sist. libre ⇒ Y. + Z0 ⊥ ⇒ Y. + Z0 ∈

[

(Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Dados dos vectores cualesquiera u y v se tiene que: |〈., 0〉| ≤ ‖.‖ · ‖0‖

(Teorema de Pitágoras) Dados dos vectores ortogonales cualesquiera u y v se tiene que: ‖. + 0‖# = ‖.‖# + ‖0‖#

Proyección Ortogonal Dado un subespacio F de dimensión finita del espacio euclídeo E y un vector . ∈ < se denominaproyección ortogonal de u sobre v al vector \ ∈ ] tal que ^ = . − \ (residuo) pertenece al subespacio ortogonal de F \ = \^` a . ∶ \∈ /^ =.−\ ∈
[

Propiedad: La proyección ortogonal es el vector de F cuyo residuo tiene norma mínima, es decir, es el vector de F que está más próximo a u

Cálculo de la proyección ortogonal • Sea B una base del subespacio F ( = )0 , 0# … 0, ^∈ (cd* *

•...