Espacios Vectoriales1

ESPACIOS VECTORIALES
Introducción.
La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes
vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de
dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...
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Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ y de ℜ .

En Matemáticas, tratamos deabstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para
extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física.
Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:
• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;
• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplen ciertaspropiedades, que observamos en los vectores
de ℜ 2 y de ℜ 3 :
En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para
vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

Propiedades de la suma de vectores.
• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)
• Conmutativa: v+u=u+v.

K
K
0 , tal que 0 + v = v para cualquier vector v.
K
Para cada vector v existeun elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .

• Existe un elemento neutro, el vector
•

Propiedades del producto de un vector por un escalar.
• Asociativa: β (α v) = ( β α ) v
• Distributivas:

Respecto de la suma de escalares: ( α + β ) v = α v + β v
Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u + α v
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.Definición: espacio vectorial.
Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo
todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal
conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores
de la Física.)
Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.
•

Otraspropiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las
anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:

K

K

Si α v = 0 ( α escalar, v vector) entonces o bien es α =0 o bien es v = 0 .
Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Espacios Vectoriales 1

Ejemplos de espacios vectoriales.
1) El espacio ℜ n , formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio
vectorial real, en el quese pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la
forma habitual.
Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones.
El vector cero es (0,. . .,0).
No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos
(si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜ n ).

2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomiosde grado ≤ 2 con coeficientes reales:
P2 ={ ax2 + bx + c : a, b, c ∈ ℜ }
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro
elemento de P2 ; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y
obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:
• Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2 + (b+b’) x + (c+c’) que pertenece a P2.
• Producto por unescalar real: λ∈ ℜ , λ(ax + bx + c) = λax2 + λbx + λc que pertenece a P2.

K

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es el polinomio
cero: 0x2 + 0x + 0
No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado
podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3(exactamente 3) con
coeficientes reales.

No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está
garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios
p = x3+x2+x+1 , q = –x3+x2+x+1
Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a
G (su grado no es 3).

4) Consideremos el conjunto M2x2 (también...