Estabilidad De Taludes

Universidad de Alicante
Generalidades y continuidad 1.-

Curso 2012/13 Primero del Grado en Químicas y Geología

Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones. Además, comparar sus grácas.
(i) f (x) = x, (ii) f (x) = x2 , (iii) f (x) = x3 , (iv) f (x) = x4

2.-

Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones. Además, esbozar su gráca.
√ · f (x) = x · f (x) = |x|· f (x) = |x2 − 1| 2 · f (x) = x x √ · f (x) = x − 1 · f (x) = |x − 1| 1 · f (x) = x · f (x) = |x| x √ · f (x) = 5 − x2 · f (x) = |1 − x| 1 · f (x) = x−1 x−2 · f (x) = x2 −4 √ · f (x) = −x2 + 3x − 2 · f (x) = |x2 − 1| · f (x) = |x21 −1| 1 1 · f (x) = x + x−2

3.-

Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones. Además, dibujar su gráca.
2x si x > 1 −2x si x ≤ 1  2  x si 0 ≤ x < 21 si x = 2 · f (x) = m´x{1, x} · f (x) = a  4 si x > 2

· f (x) =
4.-

· f (x) = m´x{1 − x, x2 } a

Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones. Además, esbozar su gráca.
· f (x) = 2x · f (x) = 2x−1 · f (x) = sin x · f (x) = cos(2x) · f (x) = sec x · f (x) = arcsin x · f (x) = ex · f (x) = 21−x · f (x) = sin(2x) · f (x) = cos(x/2) · f (x) = cos x · f (x) = arc cos x · f (x)= lg2 x · f (x) = ln(1 − x) · f (x) = sin(x/2) · f (x) = tan x · f (x) = cot x · f (x) = arctan x · f (x) = ln x · f (x) = ln |1 − x| · f (x) = cos x · f (x) = tan(2x) · f (x) = tan x/2 ·

5.-

i) Hallar (f ◦ g) cuando f (x) = x2 y g(x) = cos x. ii) Hallar (f ◦ g) cuando f (x) = x3 − x + 2 y g(x) = 1 + sin x. ii) Probar que f (x) = 2x3 − 1 y g(x) =
6.3

x+1 2

son inversas.

Determinatodos los números reales x tales que
x2 − x + 10 > 16 |x| ≤ 1 2 |x − 5x + 4| = 0 · 5 − x2 ≤ 16 · |x − 3| ≤ 7 3 · |x + x2 + 6x| = 0 · x2 + x + 1 > 2 · |2x + 6| < 6 |2x + 1| + 6x ≤ 0 · 4 − x < 3 − 2x · |3x − 5| ≥ 4 · |x2 + x| ≥ 2

7.-

Estudiar la continuidad de la función
f (x) = x2 − x + 1 si x ≥ 0 x−2 si x < 0

en el punto x = 0.
8.-

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:x+3 ·f (x) = 2 x −9 |x| · f (x) = x x3 − 2x2 − x − 2 · f (x) = x2 − x − 2

9.-

Dada la función
f (x) =

x2 + ax si x ≤ 2 a − x2 si x > 2.

Hallar los valores de a para que f sea continua.
10.-

Dada la función
f (x) =

x3 −2x2 −3x+6 x2 −x−2

a

si x = 2 si x = 2.

Hallar los valores de a para que f sea continua.
11.-

Dada la función
f (x) =

ax2 − b si x ≥ 1 x + 2asi x < 1.

Hallar los valores de a y de b para que f sea continua.
12.-

Dada la función

 2 si x < 0  x + 2x − 1 ax + b si 0 ≤ x < 1 f (x) =  2 si x ≥ 1.

Hallar los valores de a y de b para que f sea continua.
13.-

Dada la función
f (x) =

x+1 si 1 < x < 3 |x + ax + b| si |x − 2| ≥ 1,
2

hallar a y b para que f sea continua.
x3 + x2 + x + a x−1 denida en R \ {1}. Hallar ay f (1) de modo que f se pueda extender a todo R de forma continua. f (x) =
15.14.-

Dada la función

Estudia la continuidad de la función
f (x) =
1 x sin x si x = 0 0 si x = 0.

16.-

Estudia la continuidad de la función
f (x) = (x − 1)(x2 − 9x + 18) . (x − 3)(x2 − 8x + 12)

17.18.19.-

Probar que la función f (x) = x + sin x − 1 tiene al menos una raiz real. Dada la función f(x) = x3 − x2 + x, probar que exite a ∈ (1, 2) tal que f (a) = Probar que las siguientes ecuaciones tienen al menos una solución en (0, 1).
· πx = e · x = cos x √ 5.

20.-

Probar que las siguientes ecuaciones tienen al menos una solución real.
· x2 − 2 = −x x248 + sin2 x + 1 x · x cos + 15 sin x = 15 2 · x50 + 120 = 70 2 + sin2 x · ex = 1 x

· 2x − 1 = cos x

21.-

Sea f : [0, 1] → (0,1) una función continua. Probar que existe c ∈ (0, 1) tal que f (c) = c. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua. Probar que existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c.

22.23.-

Sean f, g : [0, 1] → R dos funciones continuas tales que f (0) > g(0) y f (1) < g(1). Probar que existe c ∈ (0, 1) tal que f (c) = g(c). Sean f (x) = 2x2 − 6x + 2. Determinar un valor n ∈ N de forma que exista un...