Estadistica Aplicada A La Ecologia

Tema 1 Introducci´n a las Ecuaciones o y Sistemas Diferenciales Ordinarios. M´todos elementales e de integraci´n o

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Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Durante todo el Curso, usaremos la expresi´n EDO como sin´nimo de Ecuaci´n o o o Diferencial Ordinaria. Definici´n 1.1 Una EDO de primer orden es una expresi´n de la forma o o F (x, y, y ) = 0, (1.1)

siendo F una funci´n dada, definida enun conjunto O ⊂ I 3 , con valores en o R I que depende efectivamente de al menos la tercera variable. A x se le denoR, mina la variable independiente, y = y(x) es una funci´n inc´gnita dependiente o o s´lamente de la variable x, e y denota a la derivada primera de y respecto de o x. Observaci´n 1.2 Con frecuencia se usa la letra t, en vez de x, para designar a o la variable independiente en laecuaci´n (1.1). En tal caso, es tambi´n corriente o e utilizar la letra x para designar a la funci´n inc´gnita, dependiente ahora de la o o variable t, e incluso usar x para denotar a la derivada primera de x respecto de ˙ t, con lo que la EDO (1.1) se escribe entonces F (t, x, x) = 0. ˙ (1.2)

Nosotros usaremos preferentemente la notaci´n (1.1), pero a veces, dependiendo o del contexto, haremos usode (1.2) u otras notaciones equivalentes. 1

2 Definici´n 1.3 Una soluci´n de (1.1) es cualquier funci´n ϕ : I → I con o o o R, I ⊂ I intervalo de interior no vac´ satisfaciendo: R ıo, (i) Existe la derivada ϕ (x) en todo punto x ∈ I, donde si x es un extremo de I, ϕ (x) denota a la correspondiente derivada lateral, (ii) (x, ϕ(x), ϕ (x)) ∈ O, para todo x ∈ I, (iii) F (x, ϕ(x), ϕ (x)) = 0, paratodo x ∈ I. Se dice tambi´n en tal caso que la pareja (I, ϕ) es una soluci´n local de (1.1), o e o que ϕ es una soluci´n de (1.1) en el intervalo I. o La ecuaci´n (1.1) se dice que est´ en forma impl´ o a ıcita. En el caso en que y aparece despejada en la EDO, se dice que ´sta est´ en forma expl´ e a ıcita o normal. M´s exactamente: a Definici´n 1.4 Diremos que una EDO de primer orden est´ en formaexpl´ o a ıcita o normal, si est´ escrita en la forma a y = f (x, y), (1.3)

con f : Ω ⊂ I 2 → I una funci´n dada. En tal caso, esta ecuaci´n puede ser R R o o escrita en la forma (1.1), tomando O = Ω × I con F (x, y, y ) = y − f (x, y). R, En este Curso, nos vamos a centrar en el caso de las EDOs en forma normal. La noci´n de soluci´n para (1.3) no es m´s que un caso particular de la o o acorrespondiente noci´n para (1.1) o o o R, Definici´n 1.5 Una soluci´n de (1.3) es cualquier funci´n ϕ : I → I con o I ⊂ I intervalo de interior no vac´ satisfaciendo: R ıo, (i) Existe la derivada ϕ (x) en todo punto x ∈ I, donde si x es un extremo de I, ϕ (x) denota a la correspondiente derivada lateral, (ii) (x, ϕ(x)) ∈ Ω, para todo x ∈ I, (iii) ϕ (x) = f (x, ϕ(x)), para todo x ∈ I. Se dice tambi´n ental caso que la pareja (I, ϕ) es una soluci´n local de (1.3), o e o que ϕ es una soluci´n de (1.3) en el intervalo I. o Observaci´n 1.6 En general, consideraremos que Ω es un subconjunto abierto o de I 2 , y que f es continua. En ese caso, la condici´n (i) en la definici´n R o o precedente puede ser sustituida por pedir que ϕ ∈ C 1 (I).

3 Observaci´n 1.7 La ecuaci´n (1.3) admite una interpretaci´ngeom´trica seno o o e cilla. A cada punto (x0 , y0 ) ∈ Ω, la funci´n f le asocia el n´mero p0 = f (x0 , y0 ). o u Si pensamos en p0 como el valor de la pendiente de la recta que pasa por (x0 , y0 ), obtenemos en Ω un campo de direcciones. En este sentido, buscar soluci´n ϕ a o (1.3) equivale a buscar una curva plana de ecuaci´n en coordenadas cartesianas o y = ϕ(x), tal que para cada punto (x0 ,y0 ) de la curva, la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto sea precisamente el valor p0 = f (x0 , y0 ) del campo en el citado punto. A continuaci´n, discutimos algunos ejemplos de problemas que dan lugar a o la aparici´n de EDOs de primer orden. o Ejemplo 1) Al eliminar un par´metro. a En concreto, supongamos dada una familia uniparam´trica de funciones ree gulares y = y(x, C),...