Estadistica Aplicada

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TLALNEPANTLA
ALEMAN REYES JOSE LUIS
10251485
UNIDAD 5
5 Estadística aplicada:
5.1 Introducción a las transformaciones lineales-
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal
5.3 La matriz de una transformación lineal
5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: (reflexión, dilatación, contracción y rotación)

Estadística aplicada
Se denomina estadísticaaplicada al área de la estadística que se ocupa de inferir resultados sobre una población a partir de una o varias muestras. Es la parte de la estadística que se aplica en cualquier otra rama externa a ella, como psicología, medicina, sociología, historia, biología, marketing, etc.
Los parámetros poblacionales son estimados mediante funciones denominadas "estimadores" o "estadísticos". Laestimación de éstos, se hace basándose en la estimación estadística y puede ser puntual, por intervalos o de contraste de hipótesis. En una estimación puntual se obtiene un solo valor con una confianza nula, como cuando se dice que la estatura media de tal población es de 1,72m. En la estimación por intervalos, el nivel de confianza depende de la amplitud del intervalo, es cuando se afirma que el 95% detal población mide menos de 1,96m. El contraste de hipótesis consiste en verificar estadísticamente si una suposición acerca de una población es cierta o falsa.
La estadística aplicada se apoya totalmente en la utilización de paquetes estadísticos que ayudan a resolver problemas de índole estadística, acortando dramáticamente los tiempos de resolución. Es por esto que en muchas facultades seenseña a utilizar estos programas estadísticos sin que, a veces, el alumno entienda, ni tenga la necesidad de entender cómo funcionan.

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalaresdel campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y secumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, susdiferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

Transformaciones lineales

1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades
Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función

tal que:
i)

,

.

,

,

.
En otras palabras, una transformación lineal esuna función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si

es una transformación lineal, entonces

.En efecto

. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que

.
Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii)

es lineal si y solo si

,,

.Si T lineal, entonces

. Inversamente, supongamos que

,

,

. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:
a)

b)
Nótese que usamos el hecho de que

, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii)

es lineal si y solo si

,

.
La demostración se hace por inducción sobre n.
a) Si

, entonces

, por la condición...