Estadistica - distribuciones celebres

Distribuciones Celebres |
Estadística y Probabilidad |
|

Glosario

Variable aleatoria

Supongamos un espacio muestral en el que a cada punto le asignamos un número. Tenemos entonces una función definida en el espacio muestral. Esta función recibe el nombre de variable aleatoria (o variable estocástica). Usualmente se denota con una letra mayúscula X o Y.


Variablealeatoria discreta y continua

Una variable aleatoria que toma un número finito de valores se llama variable aleatoria discreta. Si la v.a. no es numerable entonces decimos que se trata de una v.a. continua.

Distribución de probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad deque dicho suceso ocurra.
Entonces, sean X1, X2,…, Xn los valores que X puede tomar, llamaremos “distribución” de X al conjunto de pares {(X1; P(X= X1)), (X2; P(X= X2)),…,( Xn; P(X= Xn))}
La representación gráfica más usual de la función de probabilidad es un diagrama de barras no acumulativo.

Esperanza Matemática

Si X representa una variable aleatoria discreta que puede tomar los valoresX1, X2,…, Xn con probabilidades respectivas p1, p2,…, pn, donde p1+ p2+…+ pn = 1, la esperanza matemática de X o simplemente esperanza de X , simbolizada por E(X), se define como:

E(X)=p1 X1 + p2 X2+…+ pn Xn = piXi



Propiedades. Si X e Y son variables aleatorias, del mismo espacio muestral, y k un número real
1) E(X +k)=E(X)+k
2) E(kX)= kE(X)
3) E(X +Y)= E(X)+E(Y) (laesperanza de la suma es la suma de las esperanzas)
Probabilidad de ocurrencia de un evento

Supóngase un suceso E, que de un total de n casos posibles, todos igualmente factibles, puede presentarse en h de los casos. Entonces, la probabilidad de aparición del suceso (llamada ocurrencia) viene dada por:
p = P(E) = h/n
La probabilidad de no aparición del suceso (llamada su no ocurrencia)viene dada por:
q = P(no E)= (n – h)/ n = 1 – h/n = 1 – p = 1 – P(E) .
Varianza

La varianza mide la dispersión o distanciamiento de X, respecto de la media.
Sea X una variable discreta que toma los valores, x1, x2,..., xn con función de probabilidad f. Se llama varianza de X y se designa por var(X) a:
Var(X) = (xi – E(x))2p(X=xi) = xi2 p(X=xi) - E(x)2 = E(x2) - E(x)2
Propiedades: SiX e Y son variables aleatorias y k un número real
1) Var(X+k)=Var(X)
2) Var(kX)=k2Var(X)
3) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Desviación estándar
La desviación estándar o típica se define como la raíz cuadrada de la varianza.

Sucesos independientes y dependientes

Se dice que X e Y son dos sucesos independientes si Cov(X; Y) = 0.
Donde Cov(X; Y) = E(XY) – E(X)E(Y), dicha fórmula esposible obtenerla a partir del desarrollo de la Var(X+Y) = E((x+y)2) – E(x+y)2 = …= Var(X) + Var(Y) – 2 [E(XY) – E(X)E(Y)]
En general Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) – 2 Cov(X; Y) pero como X e Y son independientes => Cov(X; Y) = 0, tenemos si X e Y son independientes entonces Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y).

Distribuciones Celebres

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS

1. Distribución Booleana– Bernoulli

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli, nombrada así por el matemático y científico suizo James Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito p y valor 0 para la probabilidad de fracaso q = 1 − p.
Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento condos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro p.
Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo.
Tabla [ 1 ]. Propiedades - Distribución de Bernoulli
Esperanza Matemática | Varianza | Desviación Estándar |
E(X) = p | Var(X)=pq | = |...