estadistica durwin watson

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L. Cid S. / Series de Tiempo 2003

CAPITULO I
MODELOS DE REGRESION CON RESIDUOS
AUTOCORRELACIONADOS
1.1 Introducción.
Cuando hablamos de muestras aleatorias, pensamos de diseñar un esquema de muestreo en que
cada elemento de la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado como
representante de la población. Esto confiere a la muestra una serie de propiedades muyapreciadas, entre las cuales la independencia es la más importante pues, al seleccionar cada
elemento desde la población en forma independiente de los demás (mediante algún
procedimiento aleatorio), estamos asegurándonos de que los valores asumidos por la variable de
interés sean independientes entre si. Esta independencia constituye el supuesto básico para
algunos de los resultados más importantes yde mayor uso en Estadística como es, por ejemplo, la
estimación por máxima verosimilitud y el análisis de regresión en general.
El análisis de regresión proporciona información sobre las relaciones entre una variable respuesta
y una o más variables predictoras, pero sólo en la medida que dicha información esté contenida
en la fuente de información (la muestra aleatoria). La calidad del ajustey de la inferencia que
podamos realizar dependerá, por tanto, de la calidad de la muestra con la cual estemos
trabajando, bajo el supuesto que nuestra metodología de análisis es adecuada.
Bajo esta perspectiva, diremos que el análisis de regresión es un conjunto de métodos gráficos y
analíticos que permitan explorar las relaciones entre una variable, que llamaremos variable
respuesta,(llamada también variable dependiente) y una o más variables que llamaremos
variables predictoras (o variables independientes). Una vez que dichas relaciones son obtenidas,
pueden ser utilizadas para predecir los valores de la variable respuesta, identificar cuáles son las
variables que la afectan o verificar la veracidad de algunos modelos propuestos anteriormente.
Consideremos un modelo deregresión lineal en su forma matricial
Y = X " +% ,
sujeto a las condiciones habituales; es decir, los elementos del vector de errores % µ N(0,5 2 In ).
La independencia de los errores asegura la estimabilidad de los parámetros del modelo, y su
normalidad nos proporciona una clase particular de estimadores, en la función de verosimilitud
asociadaß esto es,
s
" œ Ð\\ w Ñ?" \ w ] .
Existen, sinembargo, una variedad de situaciones en que tales errores no son independientes,
como es el caso, por ejemplo, de observaciones secuenciales, ya sea en el tiempo o en el espacio.
Si por ejemplo, los errores de un modelo del tipo
Yi = "0 + "1 X1i + "2 X2i + á + "k Xki + %i ,

i = 1,2, á , n

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no son independientes, diremos que ellos estánautocorrelacionados. En situaciones como esta, el
uso de estimadores mínimo cuadrático para los parámetros del modelo, es inadecuado. En efecto,
asociado al vector de errores %, tenemos la siguiente matriz de covarianzas:
Ô 511
Ö5
D = Cov(%) = Ö 21
Þ
Õ 5n1

512
522
Þ
52n

á
á
á
á

51n ×
52n Ù
Ù
Þ
5nn Ø

Esta matriz contiene n(n+1)/2 elementos desconocidos los que se deberían estimardisponiendo
para ello sólo de un máximo de n grados de libertad.
Para resolver este problema existen dos posibilidades, una es determinar algún tipo de
transformación, que más adelante llamaremos grado de diferenciación, que permita eliminar en
alguna medida los niveles de dependencia entre los errores; y la otra alternativa es generar una
familia diferente de estimadores, imponiendo algunasrestricciones adicionales a la matriz D, y
generando estimadores diferentes a los estimadores mínimo cuadrático ordinarios. Este último
enfoque es propio del estudio de las series temporales.
En caso de utilizar, erróneamente, mínimos cuadrados ordinarios (MCO) para la estimación de
los parámetros de un modelo en que los errores no son independientes, estamos expuestos a
cometer alguno de los...