ESTADISTICA EMPRESARIAL RESUMENES Y EJEMPLOS

UNED. CENTRO ASOCIADO DE LAS PALMAS.
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL.
Ana Mª Ramírez Anaya

TEMA 1
VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES

1. VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL.
Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso
elemental del espacio muestral.
Podemos encontrar variables aleatorias de dos tipos: discretas y continuas.
Decimos que una variable aleatoria esdiscreta si toma un número finito o infinito,
pero numerable de valores. Será continua si puede tomar un número infinito no
numerable de valores, o tomar valores en uno o más intervalos de la recta real.
1.2. DISTRIBUCIÓN
DISCRETAS.

DE

PROBABILIDAD

DE

VARIABLES

ALEATORIAS

1..1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD, FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O
FUNCIÓN DE CUANTÍA.

Es una función que llamaremos P(x) yque asigna las probabilidades con la que la
variable aleatoria toma los posibles valores, de tal forma que las probabilidades
verifiquen:

0 ≤ P( xi ) ≤ 1

i = 1, 2,3,..., r

r

∑ P( x ) = 1
i =1

i

Por lo tanto la probabilidad no puede ser negativa y para todos los valores posibles los
sucesos son excluyentes y exhaustivos( Significa que de todos ellos sólo debe de
ocurrir uno y no pueden ocurrirdos de forma simultánea).
1..2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN.
Una variable aleatoria queda definida cuando conocemos su campo de
variación y el conjunto de probabilidades con que toma valores en ese campo.
La probabilidad del suceso X ∈ ( −∞; x ] recibe el nombre de función de
distribución de la variable aleatoria y la denominaremos F ( x ) = P( X ≤ x) . La
función de distribución, por definición nopuede ser negativa, al ser una
probabilidad, ni decreciente, ya que es acumulativa. Además, por ser una
probabilidad, está acotada 0 ≤ F ( x) ≤ 1 .
1..2.1. PROPIEDADES.

F (−∞) = 0
F (+∞) = 1
b) P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 )

a)

c) La función es monótona no decreciente.
d) La función es continua por la derecha.

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1.2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS.
1.2.1 FUNCIÓN DE DENSIDAD.
Si X es una variable aleatoria de tipo continuo y se verifica:

f ( x) ≥ 0
+∞

∫

f ( x)dx = 1

−∞

diremos que f ( x ) es la función de densidad de la variable aleatoria continua.
Gráficamente representa la curva límite correspondiente al histograma de
frecuencias relativas.
En el casocontinuo la suma de densidades de probabilidad o área bajo la
curva f ( x ) es igual a la unidad.
Como en el caso continuo no existen las probabilidades puntuales
P( X = a ) = 0 entonces P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b)
1.2.1 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

F ( x ) = P ( X ≤ x) = ∫

x

−∞

f ( x )dx

y representa el área limitada por la curva

función de densidad y a la izquierda de la recta X = x
La función dedistribución conduce a la probabilidad a través de una longitud,
mientras que si utilizamos la función de densidad el valor es el mismo pero
expresado como un área.
1.2.1 DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA.
Se dice que una distribución es simétrica respecto de un punto c si se verifica:

P ( X ≤ c − x ) = P ( X ≥ c + x)

∀x

Diremos que es simétrica respecto del punto cero si: f ( x ) = f (− x )
(ver problemas1 y 2)
2. VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL
2.1..DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BIDIMENSIONAL.
Podemos encontrarnos con los dos casos ya mencionados, discretos y continuos.
En el caso discreto:
Distribución de probabilidad conjunta: 0 ≤ P ( x, y ) ≤ 1

r

s

1

1

∑∑ P( x , y
i

j

) =1

Función de distribución conjunta:

F ( x, y ) = P ( X ≤ x; Y ≤ y ) = ∑∑ P ( X = xi ; Y = y j )

En el casocontinuo:

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Función de densidad bidimensional:

f ( x, y ) ≥ 0
+∞

+∞

-∞

-∞

∫ ∫

-∞ < x < +∞ −∞ < y < +∞

f ( x, y )dxdy = 1

Función de distribución bidimensional:

F ( x, y ) = P ( X ≤ x; Y ≤ y ) = ∫

x

∫

y

−∞ −∞

f ( x, y )dxdy

2.1.1 DISTRIBUCIONES MARGINALES.
Cuando queremos conocer por separado la...