ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Dispersión

Medida en la que los datos se dispersan alrededor de un punto central (normalmente la media aritmética) en una muestra.

Posición



Las medidas de posición

Dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
Las medidas de posición son:

Cuartiles

Los cuartilesson los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
Q2 coincide con la mediana.


Cálculo de los Cuartiles

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión.
 .
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7,4, 9

Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9



Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.Ejercicio de cuartiles
Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
 
fiFi
[50, 60)
88
[60, 70)
1018
[70, 80)
1634
[80, 90)
1448
[90, 100)
1058
[100, 110)
563
[110, 120)
265
 
65 
Cálculo del primer cuartil


Cálculo del segundo cuartil


Cálculo del tercer cuartil


Deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos endiez partes iguales.
Los deciles dan los valorescorrespondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitudde la clase.

Ejercicio de deciles
Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
 
fiFi
[50, 60)
88
[60, 70)
1018
[70, 80)
1634
[80, 90)
1448
[90, 100)
1058
[100, 110)
563
[110, 120)
265
 
65 


Cálculo del primer decil


Percentiles
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en100 partes iguales.
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99%de los datos.
P50 coincide con la mediana.
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.

Ejercicio de percentilesCalcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
 
fiFi
[50, 60)
88
[60, 70)
1018
[70, 80)
1634
[80, 90)
1448
[90, 100)
1058
[100, 110)
563
[110, 120)
265
 
65 
Percentil 35



MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entreel mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valorde la variable estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por 


Ejemplo
Calcular la desviación media de ladistribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18




Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:


Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
 
xifi
xi · fi|x - x|
|x - x| · fi
[10, 15)
12.53
37.59.286
27.858
[15, 20)
17.55
87.54.286
21.43
[20, 25)
22.57
157.50.714
4.998
[25, 30)
27.54
1105.714...