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Matrices escalonadas y escalonadas reducidas
Objetivos. Estudiar las definiciones formales de matrices escalonadas y escalonadas reducidas. Comprender qu´ importancia tienen estas matrices para sistemas de ecuaciones
e
lineales. Demostrar que cada matriz se puede transformar en una matriz escalonada al
aplicar operaciones elementales de renglones.
Requisitos. Notaci´n para entradas de unamatriz, operaciones elementales con renglones
o
de una matriz.
Aplicaciones. Eliminaci´n de Gauss, eliminaci´n de Gauss-Jordan, soluci´n de un siso
o
o
tema de ecuaciones lineales, c´lculo del rango de una matriz, construcci´n de bases de
a
o
n´cleo e imagen de una transformaci´n lineal.
u
o

Matrices escalonadas y escalonadas reducidas
1. Definici´n (matriz escalonada). Una matriz sellama escalonada por renglones o
o
simplemente escalonada si cumple con las siguientes propiedades:
1. Todas los renglones cero est´n en la parte inferior de la matriz.
a
2. El elemento delantero de cada rengl´n diferente de cero est´ a la derecha del elemento
o
a
delantero diferente de cero del rengl´n anterior.
o

2. Definici´n de matriz escalonada en t´rminos de los n´ meros r y pi .Sea
o
e
u
A ∈ Mm,n (F). Denotemos por r al n´mero de los renglones no nulos de A:
u
r :=

i ∈ {1, . . . , m} : Ai,∗ = 0

,

y en cada rengl´n no nulo denotemos por pi al ´
o
ındice de la primera entrada no nula:
pi := min j ∈ {1, . . . , n} : Ai,j = 0

(i ∈ {1, . . . , m}, Ai,∗ = 0).

La matriz A se llama escalonada por renglones (o simplemente escalonada) si cumple con
lassiguientes propiedades:
1. Ai,∗ = 0 para todo i ∈ {1, . . . , r}, Ai,∗ = 0 para todo i > r;
2. p1 < . . . < pr .

Matrices escalonadas y escalonadas reducidas, p´gina 1 de 6
a

3. Definici´n (matriz escalonada reducida). Una matriz se llama escalonada reducida
o
por renglones o simplemente escalonada reducida si cumple con las propiedades 1 y 2 y
adem´s con las siguientes propiedades 3 y 4:a
En cada rengl´n no nulo el elemento delantero diferente de cero (“pivote”) es igual
o
a uno:
∀i ∈ {1, . . . , r}
Ai,pi = 0.
Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos:
∀i ∈ {2, . . . , r}

∀k ∈ {1, . . . , i − 1}

Ak,pi = 0.

4. Nota. Si la matriz A es escalonada, entonces sus entradas con ´
ındices (i, pi ), 1 ≤ i ≤ r,
se llaman pivotes.

5. Ejemplos de matricesescalonadas.


3 −2
7 5 1
 0
0 −4 7 9 
r = 3, A1,∗ = 0, A2,∗ = 0, A3,∗ = 0, A4,∗ = 0;

,
 0

0
0 1 6
p1 = 1, p2 = 3, p3 = 4, p1 < p2 < p3 .
0
0
0 0 0


0 −3 1 5
r = 2, A1,∗ = 0, A2,∗ = 0, A3,∗ = 0;
 0
0 2 0 
p1 = 2, p2 = 3, p1 < p2 .
0
0 0 0
6. Ejemplos de matrices no escalonadas.


2
3 5 −1
 0
0 0
0 


r = 2, pero A2,∗ = 0.
 0 −5 4
7 
0
00
0


3
2 −5 4
 0
1
3 4 ,
p2 = p3 = 2.
2 3
0 −5
7. Ejercicio. ¿Cu´les de las siguientes matrices son escalonadas?.
a






0 3 0 0
3 −4
5
−2 0 3 5
 0
 0 0 1 4 .
 0 0 0 0 ,
7
8 ,
0 0 0 0
0
0 −2
0 3 0 0
Matrices escalonadas y escalonadas reducidas, p´gina 2 de 6
a

8. Ejemplo. Describir de manera expl´
ıcita todas las matrices escalonadasreducidas en
M1,2 (R).
Soluci´n. Son las matrices de una de las siguientes formas, donde α ∈ R:
o
1 α

,

0 1

,

0 0

.

9. Ejercicio. Describa de manera expl´
ıcita todas las matrices escalonadas reducidas en
M2 (R).

10. Ejercicio. Describa de manera expl´
ıcita todas las matrices escalonadas reducidas en
M2,3 (R).

Matrices escalonadas y escalonadas reducidas, p´gina 3 de 6a

Eliminaci´n de Gauss
o
11. Proposici´n (eliminaci´n de Gauss). Cualquier matriz A ∈ Mm,n (F) se puede
o
o
transformar en una matriz escalonada por renglones al aplicar operaciones elementales de
tipos Rp + = λRq con p > q y Rp ↔ Rq .
Demostraci´n. Describamos un algoritmo que transforma la matriz dada A en una mao
triz escalonada. Este algoritmo se llama eliminaci´n de Gauss. En el...