Estimacion de intervalos de confianza

4.- Estimación por Intervalos de Confianza Cotas e intervalos de confianza. Definición e interpretación. Intervalos de confianza para parámetros en poblaciones normales. - Intervalos para la media y la varianza. - Comparaciones de medias y de varianzas. - Intervalos basados en muestras grandes. Intervalos para proporciones. Error máximo y tamaño muestral

Introducción:
Objetivo fundamental dela Estadística: inferir características de una población analizando una parte de ella denominada muestra. La muestra debe ser representativa de la población. Muestreo aleatorio: En cada elección cualquier individuo tiene la misma probabilidad de ser elegido. Sin reemplazamiento En poblaciones finitas: Con reemplazamiento muestra aleatoria simple X la característica a estudiar Xi el valor de lacaracterística en el individuo i X1, X2,..., Xn muestra de tamaño n, son v.a. La distribución de Xi es la misma que la de X x1, x2, . . . xn valores observados o muestrales, realización muestral, son números Si se trata de m.a.s. las Xi son independientes P(X1 = x1, ..., Xn = xn)=P(X1 = x1) ...P(Xn = xn) Inferencia Estadística: Conocer la distribución de la variable X a través de los valoresmuestrales Para realizar la inferencia estadística disponemos de - Modelos teóricos suministrados por los Modelos Probabilísticos - Técnicas suministradas por la Inferencia Estadística Se trata de buscar un modelo teórico para las observaciones y así inferir características para la población. - Muestreo o diseño experimental - Inferencia paramétrica: estimar un parámetro - Inferencia no paramétrica:Estimar la distribución
52

Forma de proceder - Estudio descriptivo de la muestra: gráficos, tablas de distribución de frecuencias. - Uso de técnicas de estimación: (paramétricas) Estimación de parámetros Contraste de hipótesis sobre los parámetros Estadístico: función de las v.a. que componen la muestra, es una v.a. y por tanto tiene distribución (distribución en el muestreo) Estimador: Valor delestadístico para una realización muestral, es un número Estadísticos más usuales Media muestral X = 1 ∑ X
n n

n

i =1

i

Distribución de X n Estadístico centrado E( X )= µ var( X )= σ Estadístico consistente
n 2 n

n

Por el teorema central del límite Xn − µ ≅ N (0,1)

σ

n Si las Xi son normales entonces X n → N ( µ ,
Varianza muestral
2 Sn =

σ
n

)

Si las Xi sonnormales

1 n ∑ (X i − X n )2 n i =1 2 nS n entonces 2

σ

=→ χ (2n −1)

53

2 La ley χ (n) es la ley de una v.a. suma de los cuadrados de n v.a. independientes y N (0,1) E( χ )= n var( χ )= 2n
2 (n ) 2 (n )

Chi-Square Distribution
0.6 0.5 Deg. of freedom 2 4

den sity

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 4 8 12 16 20

x

Chi-Square Distribution
0.15 0.12 Deg. of freedom 6 8

density0.09 0.06 0.03 0 0 5 10 15 20 25 30

x
Chi-Square Distribution
0.1 0.08 Deg. of freedom 10 20

density

0.06 0.04 0.02 0 0 10 20 30 40 50 60

x

La ley χ es reproductiva respecto del parámetro n 2 E ( S (n ) )= ((n-1)/n) σ2 No es centrado 2 var( S (n ) ) = (2(n-1)/n2)σ4
2 (n )

54

2 ´2 cuasivarianza muestral S (n ) = n S (n ) /(n-1) ´2 E( S (n ) )=σ Estadístico insesgado de lavarianza
´2 Var( S (n) )= (2/(n-1) σ4 Estadístico consistente

´2 2 S (n ) tiene menor sesgo y mayor varianza que S (n )

Si la variable en estudio es cualitativa X1, X2,..., Xn es una m.a.s. de una B (p) ∧ 1 n Proporción muestral p = X n = ∑ X i n i = º1
E(p)=p
∧

∧

estadístico centrado
∧

Var ( p ) = pq/n estadístico consistente Por el teorema de Moivre-Laplace
∧

p− p ≅ N (0,1)pq n

p ≅ N ( p,

pq ) n

55

Estimador de un parámetro: Valor del estadístico para una realización muestral. Intervalos de confianza: Más informativos que un estimador puntual. Dado un parámetro θ y una m.a.s. de tamaño n y α∈(0,1) Intervalo de confianza al nivel α para el parámetro θ P (θ1≤θ≤θ2) = 1-α θ1 = θ1(X1,..., Xn) θ2 = θ2(X1,..., Xn) θ1 y θ2 son v.a. Sus valores cambian de...