estimacion puntual. estadistica

ESTIMACIÓN PUNTUAL
Hugo Alvarado - Lidia Retamal

La estadística es una disciplina que se preocupa de desarrollar técnicas y modelos que
permitan estudiar la forma como la incertidumbre de un fenómeno es alterada por información
disponible.
El análisis de la información disponible en el contexto de un modelo estadístico, para inferir
aspectos relacionados con la incertidumbre de unfenómeno corresponde a lo que se denomina
Inferencia Estadística.
La Inferencia Estadística puede dividirse en dos grandes áreas : Estimación de Parámetros y
Pruebas de hipótesis.
En muchos problemas estadísticos, es necesario utilizar una muestra de observaciones
tomadas de la población de interés con objeto de obtener conclusiones sobre ella. A
continuación se presenta una definición formal dealgunos términos.
Una Población está formada por la totalidad de las observaciones de las cuales se tiene cierto
interés.
Una Muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población.
Una Muestra Aleatoria (m.a.) de una población X es un conjunto de variables
aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas cada una con la distribución
de X. La función de probabilidadconjunta de las observaciones muestrales es
=

=

El proceso de muestreo permite obtener información acerca de los parámetros de la distribución
de la población. Generalmente, se sabe el tipo de distribución que tiene la población, pero se
desconocen los parámetros.
Un Estadístico es una función de los valores de la muestra que no depende del parámetro de
es una muestra aleatoria de tamañon, entonces la media de
la población. Si
la muestra

=

=

, la varianza de la muestra

=

=

(

−

)
, y la desviación estándar

−

muestral S, son estadísticas.
Un estadístico es una variable aleatoria, ésta tiene una distribución de probabilidad.

A.

ESTIMACIÓN PUNTUAL DE PARÁMETROS

El objeto de muestrear una población es tener estimaciones de los parámetrospoblacionales
mediante las observaciones obtenidas en una muestra aleatoria .
Un Estimador Puntual es un estadístico cuyos valores son utilizados como valores estimados
de un parámetro. El valor de un estimador puntual recibe el nombre de estimación.
Si en una distribución se conoce su distribución , pero se ignora los valores que toma el
parámetro , el problema estadístico consiste en estimardicho valor a través de la información
entregada por una muestra.
Llamaremos Estimador de un parámetro θ a cualquier estadístico o función de la muestra
aleatoria que nos permite hacer conjeturas acerca del verdadero valor θ que es desconocido.
Por ejemplo, a menudo es necesario estimar:
1) La media µ de una población
2) La varianza σ de una población
3) La proporción p de objetos de unapoblación que pertenecen a cierta clase de interés
4) La diferencia entre medias de dos poblaciones, µ − µ

−

5) La diferencia entre proporciones de dos poblaciones,
Observación :
∧

a) Un estimador θ de un parámetro θ es una variable aleatoria porque depende de los datos
muestrales:

...., etc.

b) Así un estimador tiene una esperanza y una varianza

∧

θ

y

∧

θ .Propiedades de los Estimadores Puntuales
1. Insesgamiento: Un estimador es insesgado si el valor medio de todas sus estimaciones
∧

obtenidas en una muestra de tamaño n, es igual al parámetro que estima. Entonces θ es un
∧

θ = θ . De lo contrario se dice que es sesgado.

estimador insesgado si
∧

∧

=

=

=

∧

−

∧

∧

∧

θ −θ

2. El sesgo B de un estimador puntual θestá dado por B =

3. Consistencia: La consistencia de un estimador está relacionada con su proximidad al
parámetro que estima cuando el tamaño de la muestra que se utiliza tiende a ser infinita.
∧

Definición : Un estimador de θ de un parámetro θ es consistente si

∧

θ −θ ≤ ε

→∞

=

Por razones prácticas se utiliza el siguiente teorema para verificar la consistencia de un...