Estimación De La Varianza

Estimación de la Varianza
Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.

Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda:

Los valores de X2 dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la gráfica se tiene:

Ejemplos:
1. Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes desemillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.
Solución:
Primero se calcula la desviación estándar de la muestra:

al elevar este resultado al cuadrado se obtiene lavarianza de la muestra s2= 0.286.
Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.

Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha.
Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:

Se puede observar en lagráfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha.
Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:

Gráficamente:

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabeque la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.
 
1. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efectúa como parte del control de calidad, seanalizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%.
Solución:
Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285.
Se busca en la tabla los valorescorrespondientes con 5 grados de libertad, obteniéndose dos resultados. Para X2(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07.

Entonces el intervalo de confianza esta dado por:
y

Ensayo de Hipótesis para la Varianza de una Población Normal
En la mayoría de los casos se tiene el problema de desconocer la varianza o desviación estándar de la población, en donde las distribuciones son normales. Si sedesea probar una hipótesis acerca de la varianza se puede hacer utilizando las medidas estadísticas con las que se construyó el intervalo de confianza , esto es con la distribución Ji- cuadrada.
Ejemplos:
1. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio unavarianza de muestra s2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal, ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05.

Solución:
Como en todos los ensayos de hipótesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Después de que se identifican los datos, se plantea la hipótesis para determinar el tipo de ensayo.
Datos:
=0.0002
n = 10
s2 = 0.0003
= 0.05
Ensayo de hipótesis:
Ho; = 0.0002
H1; > 0.0002

Regla de decisión:
Si X2R 16.919 no se rechaza Ho.
Si X2R>16.919 se rechaza Ho.
Cálculos:

Justificación y decisión:
Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmación del proveedor.
Este...