Estimación

5. Inferencia Estadística: Estimación
• Objetivo: Cómo podemos utilizar la muestra para
estimar valores de los parámetros poblacionales?
• Estimación puntual: Una única estadística que es la
mejor supocisión para el valor del parámetro
• Estimación por intervalos: Un intervalo de números
alrededor de la estimación puntual, que tiene un“nivel
de confianza” fijo de contener el valor delparámetro,
llamado intevalo de confianza.
(Basado en las distribuciones muestrales del estimador
puntual)

Estimadores puntuales
• Estimadores puntuales – uso más común de valores
muestrales
• Media muestral estima la media poblacional 
y

ˆ  y 

i

n

• Desviación estándar muestral estima la desviación
estándar poblacional 
2
ˆ  s 

• Proporción muestral
poblacional  ( y  y)
i

ˆ

n 1

estima la proporción

Propiedades de buenos estimadores
• Insesgado: Distribuciones muestrales del estimador
se centra alrededor del valor del parámetro
• Ej. Estimador sesgado: rango muestral. No puede ser
más grande que el rango poblacional.
• Eficiente: El error estándar más pequeño posible,
comparado con otros estimadores
• Ej. Si la población essimétrica y con forma aprox.
normal, la media muestral es más eficiente que la
mediana muestral para estimar la media y mediana
poblacionales. (Puede verificar esto con el applet
“sampling distribution” en www.prenhall.com/agresti)

Intervalos de confianza
• Un intervalo de confianza (IC) es un intervalo de números
que se cree contienen el valor del parámetro.
• La probabilidad que elmétodo produzca un intervalo que
contenga el parámetro se llama nivel de confianza. Es
común usar números cercanos a 1, tales como 0.95 ó 0.99.
• La mayoría de los ICs tiene la forma
estimación puntual ± margen de error
con el margen de error basado en la dispersión de la
distribución muestral del estimador puntual;
p.ej., margen de error  2(error estándar) para 95% confianza

IC para unapropoción
(en una determinada categoría)
• Recuerda que la proporción muestral ˆ es una media
para variables binarias , donde y = 1 para una observ
en la categoría de interés, y = 0 de lo contrario
• Recuerda que la propoción poblacional es la media µ
de la distribución de probabilidad que tiene
P(1)   and P(0)  1  
• La desviación estándar de la dist. de probabilidad es
   (1  ) (e.g., 0.50 when   0.50)

• El error estándar de la proporción muestral es
 ˆ   / n   (1   ) / n

• Recuerda que la distribución muestral de una proporción muestral
para muestras aleatorias grandes es aproximadamente normal (por el
TCL)
• Así, con probabilidad 0.95, proporción muestral
estándar de la propoción poblacional 
– 0.95 probabilidad que

cae a 1.96
ˆ erroresˆ falls between   1.96 ˆ and   1.96 ˆ
– Una vez que la muestra es selccionada, tenemos una confianza del
95%

ˆ  1.96 ˆ to ˆ  1.96 ˆ contains 
• Este es el IC de la proporción poblacional  (casi)

Encontrar un IC en la práctica
• Complicación: El verdadero error estándar
 ˆ   / n   (1   ) / n

depende del parámetro que desconocemos!
• En la práctica,estimamos
ˆ  1  ˆ
 (1   )


 
by se 
ˆ
n
n

y entonces encontramos el IC del 95% CI utilizando la
fórmula
ˆ  1.96( se) to ˆ  1.96( se)

Ejemplo
¿Qué porcentaje de Americanos de 18-22 años reportan ser “very
happy”?
• Datos 2006 GSS: 35 de n = 164 dicen ser “very happy”
(otros reportan ser “pretty happy” o “not too happy”)

ˆ  35 /164  .213 (.31 for allages),
se  ˆ (1  ˆ ) / n  0.213(0.787) /164  0.032
• 95% CI is 0.213 ± 1.96(0.032), or 0.213 ± 0.063,
(p.ej., “margen de error” = 0.063)
lo que resulta en (0.15, 0.28).
• Tenemos una confianza del 95% que la proporción poblacional
de quienes son “very happy” está entre 0.15 y 0.28.

Ejercicio
Encuentra un IC del 99% con estos datos
• 0.99 probabilidad central, 0.01 en dos colas
•...