Estremos De Funciones Escalares

Extremos de Funciones Escalares

Bien, ya están definidos los extremos, ahora debemos definir cómo encontrarlos. Igual que para función de una variable deberán existirpuntos candidatos a ser extremos.
La mayoría de las funciones son diferenciables por tanto nos regiremos al estudio de este tipo de funciones.

TEOREMA (Condiciónnecesaria para la existencia de extremos locales)

A x0 tal que ∇f (x0 ) = 0 se lo llama PUNTO CRÍTICO ESTACIONARIO. Lo anterior quiere decir que los extremos se producennecesariamente en los puntos críticos, igual que para función de una variable. Entonces los primeros que debemos hacer es obtener los puntos críticos y luego clasificarlos enmáximos, mínimos o ninguno.
Para función de una variable, empleando el criterio de la segunda derivada, teníamos que si esta es positiva en un punto crítico estacionarioentonces estamos ante un mínimo; y, si la segunda derivada es negativa entonces tenemos un máximo. Esto es debido a que según Taylor de segundo orden la función se aproximamediante una parábola cuya concavidad depende justamente del signo de la segunda derivada:

Para funciones de varias variables, podemos también hacer uso de la formula deTaylor de segundo orden. Suponga que tenemos una función diferenciable y que su gradiente se anula en un punto x0

Análogamente, ahora debemos analizar la matriz Hessianapara clasificar los extremos.

TEOREMA (Condición suficientes para la existencia de extremos)

Obtener los valores propios de la matriz Hessiana puede resultar una tareadificultosa por tanto, podemos utilizar otro mecanismo que lo vamos a ir indicando primero para dos variables, luego para tres hasta llegar a generalizarlo.

TEOREMA