Estructura Algebraica

ESTRUCTURA ALGEBRAICA


Una estructura algebraica, es una n-tupla (a1, a2, ..., an), donde a1 es un conjunto dado no vacío, y {a2, ..., an} un conjunto deoperaciones aplicables a los elementos dedicho conjunto.


SEMIGRUPO:

Un semigrupo es un sistema algebraico de la forma donde A es un conjunto donde se ha definido una operación binaria interna . Un semigrupo cumple las dossiguientes propiedades:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

.

2.- Asociatividad: paracualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado. Es decir:Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna si:



Se dice que es un semigrupo conmutativo oabeliano.


MONOIDE:

Un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y un elemento neutro. Los monoides son estudiados en la teoría de grupos, ya que enrealidad, son semigrupos con un elemento neutro.

Un monoide es una estructura algebraica en el conjunto , con la operación binaria interna: , expresado: , donde se cumplen las siguientes trespropiedades:

1. Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:



2. Asociatividad: paracualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado. Es decir:



3.Elemento neutro: para todo elemento x que pertenezca al conjunto A, existe un elemento e de A, que cumple:



Se puede demostrar que el elemento neutro es único. En esencia, un monoide es un semigrupo...