Estructuras algebraicas

Estructuras Algebraicas
ESQUEMA
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNAS LEYES DE COMPOSICIÓN EXTERNAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS: CONCEPTOS BÁSICOS HOMOMORFISMOS ENTRE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA DE BOOLE

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Álgebra

4. Estructuras Algebraicas - Ejercicios Resueltos

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4.1.
1.

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNAS
En el conjunto Ñ se define la operación interna* de la forma: x * y = 3 x 3 + y3 Se pide estudiar sus propiedades y elementos singulares.

Observaciones preliminares: Dado que se tiene una única operación interna *, las propiedades que puede verificar son: Propiedad asociativa. Se dice que la operación * verifica la propiedad asociativa si y sólo si para cualesquiera a , b, c ∈ Ñ se cumple: a * (b * c) = (a * b) * c . Propiedad conmutativa.Se dice que la operación * verifica la propiedad conmutativa si y sólo si para cualesquiera a , b ∈ Ñ se cumple: a * b = b * a .

En general, para estudiar una propiedad de una operación interna sobre la que no hay hipótesis previas se plantea un ejemplo con elementos concretos del conjunto base (en este caso números reales) y se comprueba la igualdad que define a la propiedad en estudio. Si laigualdad no se cumple, el propio contraejemplo prueba que la operación no posee tal propiedad. Si la igualdad se cumple con el ejemplo, es plausible pensar que la operación verifica la propiedad, pero ésta debe demostrarse formalmente. Por otra parte, los elementos singulares que puede poseer la operación * son: Elemento neutro. Se dice que un elemento e ∈ Ñ es el elemento neutro de la operación* si y sólo si para todo a ∈ Ñ se cumple: e * a = a * e = a . Para determinar si una operación posee elemento neutro e se plantean las ecuaciones e * x = x , x * e = x y se resuelven despejando e. Si en los dos casos e resulta el mismo elemento constante (no depende de x), se trata del neutro de la operación. Por el contrario, si se obtienen soluciones constantes distintas o bien dependen de x, laoperación no posee neutro. En caso de que la operación sea conmutativa sólo es necesario plantear una de las dos ecuaciones, pues la otra se cumplirá por conmutatividad. Elemento simétrico. En caso de que la operación interna * posea elemento neutro e ∈ Ñ , se llama elemento simétrico por la izquierda de un elemento x ∈ Ñ a todo elemento x ′ ∈ Ñ que verifique: x ′ * x = e . Así mismo, se llamaelemento simétrico por la derecha de un elemento x ∈ Ñ a todo elemento x ′ ∈ Ñ que verifique: x * x ′ = e . Finalmente, se llama elemento simétrico de un elemento x ∈ Ñ a todo elemento x ′ ∈ Ñ que sea simétrico por la izquierda y por la derecha de x. Para determinar si un elemento arbitrario x posee simétrico (izquierdo, derecho, o ambos) se plantean las ecuaciones x ′ * x = e , x * x ′ = e , y sedespeja x' en cada una de ellas. Si los resultados son distintos y pertenecen al conjunto base de la operación, serán los simétricos izquierdo y derecho de x, pudiendo existir uno y no el otro. Si el resultado es el mismo y pertenece al

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conjunto base de la operación, será el simétrico de x. En caso de que la operación sea conmutativa sólo es necesario plantear una de lasdos ecuaciones, pues la otra se cumplirá por conmutatividad. Elemento regular o simplificable. Se dice que un elemento a ∈ Ñ es regular, simplificable o cancelable por la izquierda si y sólo si para cualesquiera x , y ∈ Ñ se verifica: a * x = a * y ⇒ x = y . Así mismo, se dice que un elemento a ∈ Ñ es regular, simplificable o cancelable por la derecha si y sólo si para cualesquiera x , y ∈ Ñ severifica: x * a = y * a ⇒ x = y . Finalmente, se dice que un elemento a ∈ Ñ es regular, simplificable o cancelable si y sólo si es regular por la derecha y por la izquierda. Para determinar si un elemento arbitrario a es regular (izquierdo, derecho, o ambos) se deben probar las implicaciones a * x = a * y ⇒ x = y , x * a = y * a ⇒ x = y . También puede considerarse que si la operación es asociativa...