Estructuras De Algebraicas

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Algebra Lineal para Computaci´n: MA-2405
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Resumen de estructuras
1. Si G es un conjunto no vac´ y ∗ es una operaci´n interna definida sobre G , se dice que
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o
(G , ∗) es un:
• semigruposi ∗ es asociativa.
• monoide si es un semigrupo con elemento neutro.
• grupo si es un monoide que cumple la propiedad de los inversos, es decir, (G , ∗) es un
grupo si ∗ es cerrada, asociativa,posee elemento neutro y cada elemento tiene inverso.
• grupo abeliano o grupo conmutativo si es un grupo y se cumple la conmutatividad.
2. Si (G , ∗) es un grupo y H ⊆ G con H = ∅, H se llamar´subgrupo de G , y se denota
a
por H ≤ G si y solo si (H, ∗) es un grupo. Es decir, un subgrupo de un grupo es un
subconjunto no vac´ del grupo que sea grupo con la operaci´n restringida a sus elementos.ıo
o
3. Se dice que (A, +, ·) es un anillo si se cumple:
• (A, +) es grupo abeliano.
• (A, ·) es asociativa.
• La distributividad de · respecto de +, es decir, x(y + z ) = xy + xz , ∀x, y, z ∈ A4. Se dice que el anillo (A, +, ·) es:
• Conmutativo si (A, ·) es conmutativo.
• Unitario si (A, ·) tiene neutro.
• Un dominio entero si y solo si es un anillo conmutativo sin divisores de cero. (a∈ A,
con a = 0 es divisor de cero si existe b ∈ A, con b = 0, tal que a · b = 0)
5. Se dice que (C , +, ·) es un campo si se cumple:
• (C , +) es grupo abeliano.
• (C ∗ , ·) es grupo abeliano.
•La distributividad de · respecto de +, es decir, x(y + z ) = xy + xz , ∀x, y, z ∈ C
6. Se dice que (V , +, ·I es un espacio vectorial si se cumple:
R)
• (V , +) es grupo abeliano.
• ∀α, β ∈ I ∀v∈ V se cumple: α(βv ) = (αβ )v y 1v = v .
R,
• La distributividad de + respecto a ·I es decir, (α + β )v = αv + βv , ∀α, β ∈ I
R,
R,
∀v ∈ V .
• La distributividad de ·I respecto a +, es decir, α(v+ w) = αv + αw, ∀α ∈ I
R
R,
∀v, w ∈ V .
7. Si (V , ∗, ·I es un espacio vectorial y W ⊆ V con W = ∅, W se llamar´ subespacio
R)
a
vectorial de V , y se denota por W
V si y solo si (W , ∗,...