Estructuras Discretas

UNIVERSIDAD CENTROOCIDENTAL ’LISANDRO ALVARADO’ DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOG´ IA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ESTRUCTURAS DISCRETAS

Por: Ronald Guti´rrez e

CAP´ ITULO 4: FUNCIONES Como ya se ha mencionado el concepto de funci´n es uno de los conceptos o m´s importantes en la matem´tica, en este cap´ a a ıtulo veremos la definici´n foro mal de funci´n como una relaci´n que satisfaceciertas condiciones, veremos o o las definiciones de funci´n: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva (invertible) o

0.1.

Funciones

Definici´n 0.1.1 Sean X, Y conjuntos. Una funci´n de X en Y es una o o tr´ada (f, X, Y ), donde f es una relaci´n de X en Y que satisface las siguı o ientes condiciones 1. dom(f ) = X 2. xf y ∧ xf z ⇒ y = z En tal caso se acostumbra escribir f : X → Y o X f Y enlugar de (f, X, Y ) → Si xf y se suele escribir y = f (x), en este caso se dice que y es la imagen de x mediante f y que x es preimagen de y

La primera condici´n nos dice que cada elemento de X tiene una imagen en o una funci´n. La segunda condici´n nos dice que la imagen de un elemento en o o una funci´n es unica. f y g no son funciones, f viola la segunda condici´n, g o ´ o viola la primera 23

Observaci´n 0.1.1 En el conjunto de llegada de una funci´n pueden existir o o elementos que no tengan preimagen. Adem´s pueden existir elementos con a m´s de una imagen. Por ejemplo f dada a continuaci´n es funci´n a o o

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Ejemplo 0.1.1 Sean X = {1, 2, 3, 4, 5} y Y = {1, a, −1, 0}. Las siguientes relaciones de X en Y son funciones 1. R = {(1, 1), (2, a), (3, a), (4, 1), (5, 1)} 2. S= {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, a), (5, −1)} Esta claro que dom(R) = dom(S) = X. Por otro lado rang(R) = {1, a}, rang(S) = {1, a, −1} Las siguientes relaciones de X en Y no son funciones 1. {(1, 1), (2, 1), (1, a), (3, a), (4, −1), (5, −1)} 2. {(1, −1), (2, 0), (4, 0), (5, 1)} La primera no es funci´n porque 1 tiene dos imagenes. La segunda no lo es o porque su dominio no es todo X

5Ejemplo 0.1.2 Sea X un conjunto arbitrario. Entonces IX : X → X dada por f (x) = x para todo x en X, es una funci´n, llamada funci´n identidad o o . rang(IX ) = X (esta es la misma relaci´n identidad del capitulo anterior) o Ejemplo 0.1.3 Sean X, Y conjuntos cualesquiera y sea c ∈ Y un elemento fijo. Entonces f : X → Y dada por f (x) = c, para todo x en X es una funci´n , llamada funci´n constante. Eneste caso rang(f ) = {c} o o Ejemplo 0.1.4 Sea X un conjunto y sea A subconjunto de X. Se llama funci´n inclusi´n de A en X a la fun´n, denotada por iA , dada por o o o iA : A → X; iA (x) = x, ∀x ∈ A En este caso rang(iA ) = A Ejemplo 0.1.5 Sean X, Y, Z conjuntos. Una funci´n f : XxY → Z es o llamada funci´n de dos variables o Por ejemplo f : RxR → R, dada por f (x, y) = x + 2y Ejemplo 0.1.6 Sea Xun conjunto y sea A subconjunto de X. Se llama funci´n caracteristica de A, denotada por 1A , a la funci´n 1A A → R, o o dada por 1, x ∈ A 1A (x) = 0, six ∈ A / Si A = X, rang(1A ) = {1}. Si A = X, entonces rang(1A ) = {0, 1} Teorema 0.1.1 Sean f : X → Y , g : X → Y dos funciones. Entonces f = g ⇔ f (x) = g(x), ∀x ∈ X Definici´n 0.1.2 Una funci´n cuyo conjunto de llegada es R se llama funo o ci´nreal, por otro lado si tanto el dominio como el conjunto de llegada de o una funci´n es R,a la funci´n se le llama funci´n real de variable real o o o Definici´n 0.1.3 Sea f : X → Y una funci´n y sea A subconjunto de X. o o Se llama restricci´n de f al conjunto A a la funci´n denotada por f /A, o o dada por f /A : A → Y ; (f /A)(x) = f (x), ∀x ∈ A Por otro lado si f : X → Y es una funci´n y X essubconjunto de Z y o adem´s g : Z → Y es una funci´n tal que f = g/X, diremos entonces que g a o es una extensi´n de f o 6

Ejemplo 0.1.7 Sea f : R − {0} → R, la funci´n definida por o f (x) = 1 x

La funciones g : (0, +∞) → R y h : (−∞, 0) → R dadas respectivamente por 1 1 g(x) = y h(x) = son restricciones de f , por otro lado podemos decir que x x f es una extensi´n de g (o de h). Una...