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ALGEBRAS DE BOOLE

0.1.

´
Algebras de Boole

´
Definici´n 0.1.1 Un Algebra de Boole es una sextupla (B, +, ·, , 0, 1),
o
donde B es un conjunto, 0(llamado elementocero) y 1 (llamado elemento
identidad) son elementos distintos de B , +, · son operaciones binarias
+ : BxB → B
(a, b) → a + b (suma de a y b)
· : BxB → B
(a, b) → a · b (productode a y b)
es una operaci´n unitaria
o
:B→B
a → a ( a a se le llama complemento de a)
tales que para todo a, b ∈ B se cumplen los siguientes axiomas:
B1) a + b = b + a, a · b = b· a (leyes conmutativas)
B2) a + 0 = a, a · 1 = a (leyes de identidad)
B3) a · (b + c) = (a · b) + (a · c), a + (b · c) = (a + b) · (a + c) (leyes distributivas)
B4) a + a = 1, a· a = 0 (leyes de complementaci´n)
o
´
Observaci´n 0.1.1
o
1. En un Algebra de Boole (B, +, ·, , 0, 1), cuando se
sobreentienden quienes son +, ·, , 0, 1, se suele decir porcomodidad el
´
Algebra de Boole B
´
2. Debe quedar claro que en un Algebra de Boole (B, +, ·, , 0, 1), 0 y 1 son
simbolos, no debe creerse que necesariamente los ’n´meros’ 0, 1est´n
u
a
en B , sino que en B existen dos elementos que se simbolizan por 0, 1
que cumplen con los axiomas B 2, B 4 anteriores
3. El 0 es el unico elemento que cumple con losaxiomas B 2 y B 4, igual´
mente 1
1

4. Para cada a existe s´lo un a que cumple con B 4
o
Ejemplo 0.1.1 Sea B un conjunto de proposiciones tales que si p, q ∈ B ,
´
entonces p∧ q, p ∨ q, ∼ p, ∼ q ∈ B . Entonces (B, ∨, ∧, ∼, F, V ) es un Algebra
de Boole
∨ = +, ∧ = ·, ∼= , 0 = F (una contradicci´n), 1 = V (una tautolog´a).
o
ı
Sabemos que B satisfacelos axiomas B 1, B 2, B 3, B 4 por la teor´a del capitulo
ı
1
Observaci´n 0.1.2 Las leyes del ´lgebra proposicional se dan en t´rminos
o
a
e
de la relaci´n de equivalencia [continua]

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