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Aplicación en las integrales definida en la solución de problemas en leyes de Newton

La regla del producto y la regla de la cadena, la noción de derivada de mayor orden, las series de Taylor, y las funciones analíticas fueron introducidas por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que usó para resolver problemas de física matemática. En sus publicaciones, Newton reformuló sus ideas paraacomodar el idioma matemático de la época, remplazando cálculo con infinitesimales por argumentos geométricos equivalentes, los cuales estaban más allá de reproches. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido rotante, y se refirió a lo achatada que es la tierra por los polos, así como a muchos otros problemas, los cualesdiscutió en Principia Mathematica. En otro trabajo, desarrolló una serie de expansiones para las funciones, incluyendo las potencias fraccionarias e irracionales. Fue claro que Newton entendía los principios de las series de Taylor. No publicó todos estos descubrimientos. En su tiempo los sistemas infinitesimales eran considerados como reprochables.
A él se deben los nombres de: cálculodiferencial y cálculo integral, así como los símbolos  y el símbolo de la integral.

En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" omatemáticamente:

O usando la notación de Leibniz:

Obviamente al resolverse como una suma de productos, el orden no importa, lo importante es que no se confunda f(x), g(x), f'(x) y g'(x).

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. ===Descripción de la de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Sea

Esto es entonces

Aplicando la definición de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre 










Centro de masa

El centro de un sistema departículas es el punto que representa al conjunto, este puede ser localizado y debe indicarse su posición definiendo un punto de referencia, en el cual se supone que se encuentra el observador. Este punto puede desplazarse y acelerarse debido a la intervención de fuerzas sobre las partículas.
Posición del centro de masa.
Un sistema de partículas puntuales dentro del modelo de la mecánica clásica, poseeun punto representativo de todo el conjunto, este punto se denomina centro de masa. Su localización puede ser determinada utilizando la siguiente fórmula:
Rcm = ∑ mi ri / ∑ mi
Donde Rcm es la posición del centro de masa respecto a la posición del observador, mi es la masa de cada una de las partículas y ri es el vector posición de las partículas medidas desde la posición del observador.Ejemplo:
Determina la posición del centro de masa del siguiente sistema de partículas puntuales. Asuma que el observador se encuentra en el vértice superior derecho del rectángulo imaginario sobre el cual se colocaron todas las partículas.

Solución:

M1 = 2kg 
M2 = 3kg
M3 = 4kg

Primero obtenga las expresiones de las posiciones de las partículas recordando la posición en que se encuentra elobservador.

r1 = - 4 m i
r2 = ( - 4 i - 3 j) m
r3 = - 3 m j

Aplique la fórmula para la determinación de la posición del centro de masa.

∑ mi = 2 + 3 + 4 = 9 kg

∑ mi ri = 2* (- 4 i) + 3* (- 4 i - 3 j) + 4 * (- 3 j ) = ( -20 i - 21 j ) kg m

Respuesta: La posición del centro de masa es ( -20 / 9 i - 21 / 9 j ) m respecto al punto P.
Un sistema está formado por dos partículas una...
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