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Ecuación de Schrödinger
Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.
Índice
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1 Nacimientode la ecuación
1.1 Contexto histórico
1.2 La derivación histórica
2 Interpretación estadística de la función de onda
3 Formulación moderna de la ecuación
3.1 Limitaciones de la ecuación
4 Resolución de la ecuación
4.1 Búsqueda de los estados propios
4.2 Rareza de una solución analítica exacta
5 Límite clásico de la ecuación de Schrödinger
6 Formulación matricial
7 Véase también
8 Notasy referencias
9 Bibliografía
Nacimiento de la ecuación[editar]
Contexto histórico[editar]
Al comienzo del siglo XX se había comprobado que la luz presentaba una dualidad onda corpúsculo, es decir, la luz se podía manifestar (según las circunstancias) como partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico), o como onda electromagnética en la interferencia luminosa. En 1923 Louis-Victor deBroglie propuso generalizar esta dualidad a todas las partículas conocidas. Propuso la hipótesis, paradójica en su momento, de que a toda partícula clásica microscópica se le puede asignar una onda, lo cual se comprobó experimentalmente en 1927 cuando se observó la difracción de electrones. Por analogía con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con energía  y cantidad de movimiento  unafrecuencia  y una longitud de onda :

La comprobación experimental hecha por Clinton Davisson y Lester Germer mostró que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la difracción según la fórmula de Bragg se correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie.
Esa predicción llevó a Schrödinger a tratar de escribir una ecuación para la onda asociada de De Broglieque para escalas macroscópicas se redujera a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La energía mecánica total clásica es:

El éxito de la ecuación, deducida de esta expresión utilizando el principio de correspondencia, fue inmediato por la evaluación de los niveles cuantificados de energía del electrónen el átomo de hidrógeno, pues ello permitía explicar el espectro de emisión delhidrógeno: series de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, Pfund, etc.
La interpretación física correcta de la función de onda de Schrödinger fue dada en 1926 por Max Born. En razón del carácter probabilista que se introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de renombre como Albert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados» y del propioSchrödinger.
La derivación histórica[editar]
El esquema conceptual utilizado por Schrödinger para derivar su ecuación reposa sobre una analogía formal entre la óptica y la mecánica:
En la óptica ondulatoria, la ecuación de propagación en un medio transparente de índice real n variando lentamente a la escala de la longitud de onda conduce —mientras se busca una solución monocromática donde laamplitud varía muy lentamente ante la fase— a una ecuación aproximada denominada eikonal. Es la aproximación de laóptica geométrica, a la cual está asociada el principio variacional de Fermat.
En la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, existe una ecuación de Hamilton-Jacobi (que en última instancia es equivalente a las leyes de Newton). Para una partícula masiva no relativista sometidaa una fuerza que deriva de una energía potencial, la energía mecánica total es constante y la ecuación de Hamilton-Jacobi para la ”función característica de Hamilton” se parece formalmente a la ecuación de la eikonal (el principio variacional asociado es el principio de mínima acción.)
Este paralelismo lo había notado ya Hamilton en 1834, pero el no tenía una razón para dudar de la validez de...