Examen álgebra

ÁLGEBRA II (C.C. FÍSICAS)
1ª P.P. Febrero 2011 (1ª Semana)

Ejercicio 1: (1 punto)

Defina simetría, proyección y homotecia vectorial y escriba sus polinomios mínimos.

Solución:

a) Sea Vun espacio vectorial y .
es una simetría si .
Su polinomio mínimo es

b) Sea V un espacio vectorial y .
es una proyección si
Su polinomio mínimo es

c) Sea V un espacio vectorialsobre un cuerpo y sea y .
h es una homotecia si
Su polinomio mínimo es

Ejercicio 2. (2 puntos)

Obtenga todas las posibles matrices de Jordan de un endomorfismo, f, del espacio vectorialV4() cuyos únicos autovalores son 2 y 3, con dim ker y que tiene infinitas rectas invariantes.

Solución:

Si tiene infinitas rectas invariantes, tienen que ser generadas por dos autovectoreslinealmente independientes asociados al mismo autovalor. Como dim ker en este subespacio no se pueden conseguir dos vectores libres. Por tanto, dim ker.
Las únicas matrices de Jordan que verifican estoson, por tanto:

a) b) c)






Ejercicio 3.

a) Obtenga la matriz de una simetría,, de V3() cuya base es el plano y cuya dirección es la recta .
(2 puntos)

b) Obtenga lamatriz de Jordan, J, de y una base tal que
(1 punto)


Solución:

a) En una simetría vectorial, de base B y dirección D se verifica que:
y
Para determinar la matriz de cualquierendomorfismo, basta dar las imágenes de una base, así, tomaremos dos vectores linealmente independientes de π y uno más de r.

Sea donde a, b y c son las columnas de la matriz anterior.

Ahora, como ,y es la base de la simetría, , es decir,

Análogamente con el vector .
Finalmente, como , y r es la dirección de la simetría,
.

Así, se obtiene, y y por tanto la matriz pedida es:



b)La base ya forma una base de Jordan, ya que , y .

Respecto de esta base, la matriz J queda así:



Ejercicio 4.


En el espacio afín A3() se considera el endomorfismo afín f cuya...