examen estadistica II
Páginas: 5 (1201 palabras)
Publicado: 17 de noviembre de 2014
Departamento de Economía Aplicada
Estadística y Econometría
GRADO EN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS. CURSO 2013-14
Estadística II . Examen Final: 11 de Febrero de 2014
APELLIDOS…………………………………………………………NOMBRE………..…………DNI……………… GRUPO…
1) (1,5 puntos) Sea X1,…, X3 una muestra aleatoria simple de una población normal de media µ desconocida y
2
varianza σ . Considérense los siguientesestimadores de µ:
𝜇! =
𝑋! +2𝑋! +3𝑋!
𝑋! +𝑋! +𝑋!
𝜇! =
6
6
Estudie la insesgadez de los dos estimadores propuestos y diga si alguno de ellos es eficiente (cota de CramerRao:
!!
!
).
Para
ser
eficiente
ha
de
ser
insesgado
y
de
varianza
igual
a
la
cota
de
C-‐R.
Veamos:
𝐸(𝜇! ) = 𝐸
!! !!!! !!!!
𝐸 𝜇! = 𝐸
!! !!! !!!
=
!
!
!
!
𝐸 𝑋! + 2𝐸 𝑋! + 3𝐸 𝑋!
!
= 𝐸 𝑋! + 𝐸 𝑋! + 𝐸 𝑋!
!
=
!
!
=
!
!
𝜇 + 2𝜇 + 3𝜇 =
𝜇+𝜇+𝜇 =
!!
!
!!
!
= 𝜇 INSESGADO
!
= 𝜇 SESGADO
!
El
primero
podría
ser
eficiente.
Nunca
el
segundo.
Veamos
si
lo
es:
𝑉𝑎𝑟 𝜇! = 𝑉𝑎𝑟
𝑋! +2𝑋! +3𝑋!
1
=
𝑉𝑎𝑟 𝑋! + 4𝑉𝑎𝑟 𝑋! + 9𝑉𝑎𝑟 𝑋!
6
36
!!
Según
el
ejercicio,
la
cota
de
Cramér-‐Rao
es
=
!
eficiente.
!!
!
=
!! !
!"
<
!
!"
=
1 !
14 !
7 !
𝜎 + 4𝜎 ! + 9𝜎 ! =
𝜎 =
𝜎
36
36
18
𝜎 ! .
Puesto
que
este
estimador
no
alcanza
dicha
cota,
no
es
2) La antigüedad, en años, de 6 empleados elegidos al azar de la empresa A y de 5 trabajadores, también
seleccionados al azar, de la empresa B, resultó ser la siguiente:
Empresa A:
Empresa B:
4
10
2
6
6
4
8
5
2
8
4
a) (1,5 puntos) ¿Puede admitirse que la antigüedad de los empleados en la empresa B supera a la de la
empresa A? Tome un nivel de significación del 5%.Se
trata
de
un
test
no
paramétrico
(no
se
supone
normalidad)
para
la
localización
de
dos
poblaciones,
con
dos
muestras
aleatorias
independientes.
Se
aplicará
la
suma
de
rangos
de
Wilcoxon
o
la
U
de
Mann-‐Whitney.
Muestra
conjunta
ordenada
Rangos
2
1,5
1,5
Wilcoxon:
T1=38
2
1,5
1,5
Val.
críticos:
TL=20;
TU=40
4
4
4
SE
ACEPTA
H0
4
4
4
Mann-‐Whitney:
4
4
4
U1=5x6+(5x6)/2-‐38=7
5
6
6
U2=5x6+(6x7)/2-‐28=23
6
7,5
7,5
6
7,5
7,5
P(U0,05
8
9,5
9,5
SE
ACEPTA
H0
8
9,5
9,5
10
11
11
Suma
66
38
Muestra
más
pequeña
(T1)
Muestra más
grande
(T2)
28
T1+
T2=(11x12)/2=66
U1+
U2=5x6=30
No
puede
admitirse
que
la
antigüedad
sea
superior
en
B
que
en
A
1
b) (1,5 puntos) ¿Puede aceptarse que los años de antigüedad del conjunto de los empleados de la empresa A
siguen una distribución normal, con un nivel designificación del 10%?.
Contraste
de
normalidad.
Parámetros
no
especificados.
Muestra
pequeña
Shapiro-‐Wilks
𝑤 =
!!
!! !
-‐
Muestra
ordenada:
2
2
4
4
6
8;
Coeficientes
de
S-‐W
(son
3:
n/2)
a1=0,6431;
...
Estadística y Econometría
GRADO EN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS. CURSO 2013-14
Estadística II . Examen Final: 11 de Febrero de 2014
APELLIDOS…………………………………………………………NOMBRE………..…………DNI……………… GRUPO…
1) (1,5 puntos) Sea X1,…, X3 una muestra aleatoria simple de una población normal de media µ desconocida y
2
varianza σ . Considérense los siguientesestimadores de µ:
𝜇! =
𝑋! +2𝑋! +3𝑋!
𝑋! +𝑋! +𝑋!
𝜇! =
6
6
Estudie la insesgadez de los dos estimadores propuestos y diga si alguno de ellos es eficiente (cota de CramerRao:
!!
!
).
Para
ser
eficiente
ha
de
ser
insesgado
y
de
varianza
igual
a
la
cota
de
C-‐R.
Veamos:
𝐸(𝜇! ) = 𝐸
!! !!!! !!!!
𝐸 𝜇! = 𝐸
!! !!! !!!
=
!
!
!
!
𝐸 𝑋! + 2𝐸 𝑋! + 3𝐸 𝑋!
!
= 𝐸 𝑋! + 𝐸 𝑋! + 𝐸 𝑋!
!
=
!
!
=
!
!
𝜇 + 2𝜇 + 3𝜇 =
𝜇+𝜇+𝜇 =
!!
!
!!
!
= 𝜇 INSESGADO
!
= 𝜇 SESGADO
!
El
primero
podría
ser
eficiente.
Nunca
el
segundo.
Veamos
si
lo
es:
𝑉𝑎𝑟 𝜇! = 𝑉𝑎𝑟
𝑋! +2𝑋! +3𝑋!
1
=
𝑉𝑎𝑟 𝑋! + 4𝑉𝑎𝑟 𝑋! + 9𝑉𝑎𝑟 𝑋!
6
36
!!
Según
el
ejercicio,
la
cota
de
Cramér-‐Rao
es
=
!
eficiente.
!!
!
=
!! !
!"
<
!
!"
=
1 !
14 !
7 !
𝜎 + 4𝜎 ! + 9𝜎 ! =
𝜎 =
𝜎
36
36
18
𝜎 ! .
Puesto
que
este
estimador
no
alcanza
dicha
cota,
no
es
2) La antigüedad, en años, de 6 empleados elegidos al azar de la empresa A y de 5 trabajadores, también
seleccionados al azar, de la empresa B, resultó ser la siguiente:
Empresa A:
Empresa B:
4
10
2
6
6
4
8
5
2
8
4
a) (1,5 puntos) ¿Puede admitirse que la antigüedad de los empleados en la empresa B supera a la de la
empresa A? Tome un nivel de significación del 5%.Se
trata
de
un
test
no
paramétrico
(no
se
supone
normalidad)
para
la
localización
de
dos
poblaciones,
con
dos
muestras
aleatorias
independientes.
Se
aplicará
la
suma
de
rangos
de
Wilcoxon
o
la
U
de
Mann-‐Whitney.
Muestra
conjunta
ordenada
Rangos
2
1,5
1,5
Wilcoxon:
T1=38
2
1,5
1,5
Val.
críticos:
TL=20;
TU=40
4
4
4
SE
ACEPTA
H0
4
4
4
Mann-‐Whitney:
4
4
4
U1=5x6+(5x6)/2-‐38=7
5
6
6
U2=5x6+(6x7)/2-‐28=23
6
7,5
7,5
6
7,5
7,5
P(U0,05
8
9,5
9,5
SE
ACEPTA
H0
8
9,5
9,5
10
11
11
Suma
66
38
Muestra
más
pequeña
(T1)
Muestra más
grande
(T2)
28
T1+
T2=(11x12)/2=66
U1+
U2=5x6=30
No
puede
admitirse
que
la
antigüedad
sea
superior
en
B
que
en
A
1
b) (1,5 puntos) ¿Puede aceptarse que los años de antigüedad del conjunto de los empleados de la empresa A
siguen una distribución normal, con un nivel designificación del 10%?.
Contraste
de
normalidad.
Parámetros
no
especificados.
Muestra
pequeña
Shapiro-‐Wilks
𝑤 =
!!
!! !
-‐
Muestra
ordenada:
2
2
4
4
6
8;
Coeficientes
de
S-‐W
(son
3:
n/2)
a1=0,6431;
...
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