Examen Junio Selectividad Soluciones

IES Fco Ayala de Granada

Junio de 2012 (General Modelo 4) Soluciones

Germán-Jesús Rubio Luna

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2012 (COMÚN Modelo 4)
OPCIÓN A
EJERCICIO 1 (A)
Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones:
y + 2x ≥ 2; 2y - 3x ≥ -3; 3y - x ≤ 6.
a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto.
b) (1 punto) Calcule sus vértices.
c) (0’5puntos) Obtenga el valor mínimo de la función F(x,y) = 2x - y en el recinto anterior, así como donde lo
alcanza.
Solución
(a) y (b)
Las desigualdades y + 2x ≥ 2; 2y - 3x ≥ - 3; 3y - x ≤ 6, las transformamos en igualdades, y ya son rectas,
y + 2x = 2; 2y - 3x = - 3; 3y - x = 6,
Para que nos sea más fácil dibujar las rectas (con dos valores es suficiente), despejamos las “y” y tenemos
y = - 2x +2; y = (3/2)x - (3/2); y = (1/3)x + 2,
Representamos gráficamente las rectas que verifican estas igualdades, entre las que estarán los bordes del
recinto delimitado por las inecuaciones dadas.

Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.
De y = -2x + 2 e y = (3/2)x - (3/2); tenemos -2x + 2 = (3/2)x - (3/2), de donde “-4x+4 = 3x-3”, es decir sale7=7x, de donde “x = 1” e “y = 0”, y el punto de corte es A(1,0)
De y = -2x + 2 e y = (1/3)x + 2; tenemos -2x + 2 = (1/3)x + 2, de donde “-6x+6 = x+6”, es decir sale 0=7x,
de donde “x = 0” e “y = 2”, y el punto de corte es B(0,2)
De y = (1/3)x + 2 e y = (3/2)x - (3/2); tenemos 2x + 12 = 9x - 9, de donde “21 = 7x”, de donde “x = 3” e
“y = 3”, y el punto de corte es C(3,3)
Fijándonos en laresolución de las ecuaciones los vértices son:
A(1,0); B(0,2) y el C(3,3).
El recinto, fijándonos de nuevo en las desigualdades de las inecuaciones es:

(c)
Consideremos la función F(x,y) = 2x - y.
El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afianza su máximo y mínimo absoluto en la región

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Germán-Jesús RubioLuna

acotada, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto, por lo que evaluamos F en los
puntos anteriores A(1,0); B(0,2) y el C(3,3).

F(1,0) = 2 - 0 = 2,
F(0,2) = 0 - 2 = -2,
F(3,3) = 6 - 3
Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el mínimo absoluto de la función F en la región es -2 (el valor
menor en los vértices) y se alcanza en el punto (0,2).
EJERCICIO 2 (A) ax 2 + 3x si x ≤ 2
a) (1’5 puntos) Sea la función f(x) =  2
 x - bx - 4 si x > 2
Determine los valores de a y b, para que la función f sea derivable en x = 2.

b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) =

x+2
, en el punto
x-1

de abscisa x=0.
Solución
a)
 ax 2 + 3x si x ≤ 2
Sea la función f(x) =  2
 x - bx - 4 si x > 2Determine los valores de a y b, para que la función f sea derivable en x = 2.

La función “ax2 + 3x” es una función polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en
(-∞,2).
La función “x2 – bx - 4” es una función polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en
(2,+∞).
Veamos la continuidad en x = 2

lim
f(x) es continua en x = 2 si f(2) = xlim− f(x) =x →2 + f(x).
→2
f(2) = a(2)2 + 3(2) = 4a + 6; xlim− f(x) = lim ( ax2 + 3x) = 4a + 6;. lim f(x)= xlim+ ( x2– bx-4) = 4–2b–4 = -b.
→2
→2
x →2−

x →2+

Como los tres valores tienen que ser iguales (para que sea continua en “2”), tenemos 4a + 6 = – 2b.

f(x) =

 ax 2 + 3 x si
 2
 x − bx − 4 si

x≤2
;
x>2

f’(x) =

2ax + 3 si

 2 x − b si

x≤2
x>2

lim
lim
f(x) esderivable en x = 2 si x →2 − f’(x) = x →2 + f’(x), estamos viendo la continuidad de la derivada.
lim
lim
lim
x → 2 − (2ax+3) = 4a+3;
lim f’(x) = xlim+ (2x-b) = 4 - b, como xlim− f’(x) = x →2 + f’(x), tenemos la
x → 2 − f’(x) =
→2
→2
x →2+

ecuación 4a+3 = 4 – b.
Resolvemos el sistema
4a + 6 = – 2b
4a+3 = 4 – b. E2 – E1 → -3 = 4 + b, de donde b = -7, luego 4a + 6 = 14, por tanto a =...