Exams Geometria Lineal

GEOMETRIA LINEAL

19.06.95

1. Sean En el espacio vectorial de los polinomios de grado
menor o igual a n con coeficientes reales, B la aplicaci´
on de En ×
En en R dada por B(P, Q) = P (−1)Q(−1) + P (0)Q(0) + P (1)Q(1).
Demostrar que B es un producto escalar si y s´
olo si es n ≤ 2 y
determinar una base ortonormal en el caso n = 2.
La aplicaci´on B siempre es sim´etrica de modo quepara demostrar la
bilinealidad de B basta ver la linealidad respecto al primer factor lo que
es muy sencillo. Adem´as se tiene B(P, P ) = (P (−1))2 + (P (0))2 + (P (1))2
que es siempre positivo. Luego B es positiva. La anulaci´on de B(P, P )
equivale a la anulaci´
on de P en los puntos −1, 0 y 1 y si n ≤ 2 eso implica
P = 0 mientras que si n > 2 ocurre que P es m´
ultiplo del polinomio
(X +1)X(X − 1). Unicamente si n ≤ 2 la forma bilineal B es definida
positiva. La matriz de B en la base (1, X, X 2 ) se calcula sin dificultad y
resulta ser


3 0 2
0 2 0
2 0 2
Los polinomios 1 y X son ortogonales y resulta inmediatamente que 2−3X 2
es ortogonal a los anteriores de manera que estos tres polinomios forman
una base ortogonal de E2 . Ya conocemos el valor de la formacuadr´atica
asociada en los dos primeros vectores, igual a 3 y 2 respectivamente, y su
valor en el tercero es igual a 6. Luego dividiendo esos polinomios por las
ra´ıces cuadradas de 3, 2 y 6 respectivamente obtenemos una base ortonormal
de E2 relativa a B.
2. En un sistema de referencia ortonormal de un espacio af´ın
eucl´ıdeo de dimensi´
on 3 se consideran los puntos A = (0, 0, 0), B =
(1,1, 2), C = (2, 2, 1) y D = (1, −2, 3). Encontrar
1. Los puntos de corte de la perpendicular com´
un a las rectas
AB y CD con tales rectas.
2. El sim´
etrico de C respecto al plano ABD.
3. El ´
angulo formado por las rectas AB y CD.
4. La distancia del punto C a la recta AD.
1. Las rectas tienen los vectores directores (1, 1, 2), (1, 4, −2) cuyo
producto vectorial es (−10, 4, 3). Lospuntos de la primera recta tienen la
1

forma (λ, λ, 2λ) y los de la segunda (1 + µ, −2 + 4µ, 3 − 2µ) y se trata de
determinar λ y µ de manera que el vector (1+µ−λ, −2+4µ−λ, 3−2µ−2λ)
sea linealmente dependiente con (−10, 4, 3). Esta condici´on se traduce en
las igualdades 22µ − 17λ = 8, 17µ + 23λ = 33 y de aqu´ı se obtienen λ y µ.
Pero no es agradable y lo podemos dejar estar.
2. El planoABD admite la ecuaci´on 7x − y − 3z = 0. El vector
(7, −1, −3) es ortogonal al subespacio director del plano y la recta que pasa
por C y es perpendicular al plano tiene la representaci´on param´etrica x =
2 + 7λ, y = 2 − λ, z = 1 − 3λ. La intersecci´on de esta recta con el plano es el
9
de manera que el sim´etrico corresponde
punto correspondiente a λ = − 59
18
8 41 5
a λ = − 59 o sea esel punto (− 59 , 59 . 59 ).
3. Las rectas AB y CD tienen por vectores directores (1, 1, 2), (1, 4, −2)
cuyo
que el producto de sus normas
√ producto escalar es igual a 1 mientras
− 12
es 127. El ´angulo θ cumple cos θ = 127 .
4. Los puntos de la recta AD tienen sus coordenadas de la forma
(λ, −2λ, 3λ) y hay uno s´olo de estos puntos tal que el vector (2 − λ, 2 +
2λ, 1 − 3λ) es ortogonalal vector (1, −2, 3) que dirige la recta. Se ve bien
1
que corresponde a λ = 14
. La distancia de C a la recta es la norma del
√
15 11
1750
vector ( 27
,
,
).
El
resultado
es
14 7 14
14 .
3. Sea ABC un tri´
angulo del plano af´ın eucl´ıdeo de lados
−→
−→
−→
||AB|| = ||AC|| = 4 y ||BC|| = 3. Sea f el desplazamiento impropio
tal que f (A) = C, f (B) = A. Demostrar que f es unasimetr´ıa
respecto a una recta compuesta con una traslaci´
on de vector paralelo a esa recta y determinar la recta y el vector.
Tomaremos una referencia en la que las coordenadas de los v´ertices A,
B, C sean, respectivamente, (0, 0), (1, 0), (0, 1). En la base relativa a este
sistema de referencia la matriz del producto escalar ordinario es
16
δ

δ
16

.

−→
El vector BC tiene...